Optimisation linéaire en nombres entiers

L'optimisation linéaire en nombres entiers (OLNE) (ou programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) ou integer programming (IP) ou Integer Linear Programming (ILP)) est un domaine des mathématiques et de l'informatique théorique dans lequel on considère des problèmes d'optimisation d'une forme particulière. Ces problèmes sont décrits par une fonction de coût et des contraintes linéaires, et par des variables entières. La contrainte d'intégralité sur les variables, qui différencie l'OLNE de l'optimisation linéaire classique est nécessaire pour modéliser certains problèmes, en particulier des problèmes algorithmiques. Mais cette contrainte supplémentaire rend le problème plus complexe et demande des techniques particulières. Un problème d'optimisation est un problème mathématique où, étant donné un ensemble de variables et des contraintes sur ces variables, on doit trouver une assignation qui maximise (ou minimise) une certaine fonction de coût. On parle de problème linéaire lorsque les contraintes et la fonction de coût sont combinaisons linéaires des variables et le problème est à nombres entiers si ces variables ne sont autorisées qu'à prendre des valeurs dans l'ensemble des entiers. La contrainte qui force les variables à prendre des valeurs entières est appelée contrainte d'intégralité. Lorsque l'on gomme cette contrainte, on parle d'un problème relaxé ou de relaxation continue, et l'on a alors affaire à un problème d'optimisation linéaire. Le rapport entre l'optimal dans la version relaxée et dans la version entière est souvent appelé integrality gap. Un problème d'OLNE peut être mis sous deux formes classiques : la forme canonique et la forme standard. La forme canonique pour une maximisation est : et la forme standard est : où sont des vecteurs et est une matrice ayant des valeurs entières. On donne un exemple de problème d'OLNE, illustré par l'image ci-contre. Il y a deux variables, les solutions sont donc des couples d'entiers. Les points rouges sont les couples qui vérifient les contraintes et les pointillés rouges montrent l'enveloppe convexe de ces points.