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Transport optimal : théorème de Rockafellar

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Dans cours

MATH-476: Optimal transport

The first part is devoted to Monge and Kantorovitch problems, discussing the existence and the properties of the optimal plan. The second part introduces the Wasserstein distance on measures and develops applications of optimal transport to PDEs, functiona ...

Description

Cette séance de cours traite du théorème de Rockafellar dans le contexte du transport optimal, en se concentrant sur le concept de monotonie c-cyclique et les fonctions convexes. Le théorème stipule que la transformation de Legendre d'une fonction est le supremum des fonctions linéaires. Il explore également le sous-différentiel d'une fonction et son application dans l'analyse convexe.

Enseignant·e·s (2)

Maria Colombo

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Roberto Colombo, Antonio Tirotta, Carl Johan Peter Johansson, Giulia Mescolini A dirigé les thèses EPFL de Luigi De Rosa, Silja Noëmi Aline Haffter, Massimo Sorella Cours Analysis IV - Lebesgue measure, Fourier analysis MATH-205 Apprendre les bases de l'intégrale de Lebesgue et l'analyse de Fourier. Topics on the Euler and Navier-Stokes equations MATH-647

Xavier Fernandez-Real Girona

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Roberto Colombo Cours Optimal transport MATH-476 La 1er partie est consacrée aux problèmes de Monge et de Kantorovitch, discutant de l'existence et des propriétés du plan optimal. La 2ème partie introduit la distance de Wasserstein sur les mesures et développe des applications de transport optimal aux EDP, des inégalités fonctionnelles/géométrique

Source officielle

Concepts associés (31)

Ensemble convexe

Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points et , le segment qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas. On suppose travailler dans un contexte où le segment reliant deux points quelconques et a un sens (par exemple dans un espace affine sur R — en particulier dans un espace affine sur C — ou dans un ).

Fonction convexe

vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.

Fonction concave

En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe).

Fonction quasi-convexe

En mathématiques, une fonction quasi-convexe est une fonction à valeurs réelles, définie sur un ensemble convexe d'un espace vectoriel réel, telle que l' de tout ensemble de la forme est convexe ou encore telle que, sur tout segment, la plus grande valeur de la fonction est atteinte à l'une des extrémités. L'opposée d'une fonction quasi-convexe est dite quasi-concave. Toute fonction convexe est quasi-convexe mais la réciproque est fausse : par exemple, toute fonction monotone sur un intervalle réel est quasi-linéaire, c'est-à-dire à la fois quasi-convexe et quasi-concave.

Analyse convexe

L'analyse convexe est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles et les fonctions convexes. Cette théorie étend sur beaucoup d'aspects les concepts de l'algèbre linéaire et sert de boîte à outils en analyse et en analyse non lisse. Elle s'est beaucoup développée du fait de ses interactions avec l'optimisation, où elle apporte des propriétés particulières aux problèmes qui y sont étudiés. Certains voient la naissance de l'analyse convexe « moderne » dans l'invention des notions de sous-différentiel, d'application proximale et d'inf-convolution dans les années 1962-63.

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Séances de cours associées (64)

Approximation diophantienne : le théorème de Minbowski

Couvre le théorème de Minbowski sur l'approximation diophantienne et l'orthogonalisation de Gram-Schmidt.

Convexité géodésique : théorie et applications

Explore la convexité géodésique dans les espaces métriques et ses applications, en discutant des propriétés et de la stabilité des inégalités.

Gradient Descent Convergence

Explique comment la descente de gradient converge vers le minimum d'une fonction à un taux de 1 sur k.

Optimisation convexe: descente de gradient

Explore la dimension VC, la descente de gradient, les ensembles convexes et les fonctions Lipschitz en optimisation convexe.

Groupes fondamentaux

Explore les groupes fondamentaux, les classes d'homotopie et les revêtements dans les variétés connectées.

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Concepts associés (31)

Ensemble convexe

Fonction convexe

Fonction concave

Fonction quasi-convexe

Analyse convexe

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