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Techniques d'intégration : changement de variable et intégration par parties

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Description

Cette séance de cours couvre les techniques d'intégration avancées, en se concentrant sur le changement de variable et l'intégration par parties. L'instructeur commence par expliquer le concept de changement de variable en utilisant des substitutions trigonométriques, démontrant comment simplifier les intégrales complexes. Ensuite, la séance de cours se penche sur l'intégration par parties, montrant comment appliquer la formule pour résoudre les intégrales des produits des fonctions. Divers exemples sont fournis, notamment l'intégration de fonctions rationnelles, l'achèvement du carré et le calcul de l'aire d'une ellipse à l'aide de l'intégration. L'instructeur souligne l'importance de choisir la bonne approche pour différents types d'intégrales et souligne la polyvalence de ces techniques pour résoudre des problèmes d'intégration difficiles.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse complexe, Calcul infinitésimal

Concepts associés (32)

Polynôme

thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).

Intégration par changement de variable

En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé. Soient : I un intervalle réel ; φ : [a,b] → I une fonction dérivable, de dérivée intégrable ; f : I → R une fonction continue.

Intégration (mathématiques)

En mathématiques, l'intégration ou calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant le calcul différentiel. Les intégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe, aire, volume, flux) ou en probabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamental. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.

Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit. Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715.

Logarithme naturel

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu'au , transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1. Le logarithme népérien d'un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x.

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Techniques d'intégration: Partie 2

Explore les techniques d'intégration, y compris les intégrales indéfinies et les changements variables, à travers des fonctions trigonométriques.

Integrals inappropriés: Convergence et comparaison

Explore les intégrales inappropriées, les critères de convergence, les théorèmes de comparaison et la révolution solide.

Exemples d'intégraux MOOC: Analyse I (partie 7) : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis)MOOC: Analyse I

Couvre divers exemples d'intégrales, mettant l'accent sur les substitutions trigonométriques et les techniques.

Intégrales incorrectes : Techniques et exemples

Couvre des exemples d'intégration par substitution et fonctions rationnelles.

Intégrales incorrectes : Techniques et exemples

Couvre des techniques et des exemples inappropriés d'intégrales, explorant la convergence et la convergence absolue.

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Polynôme

Intégration par changement de variable

Intégration (mathématiques)

Intégration par parties

Logarithme naturel

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