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Fonctions hyperboliques inverses

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Description

Cette séance de cours couvre les fonctions réciproques du tanh(x) et du coth(x) avec des expressions explicites, montrant leur invertibilité et le calcul de leurs dérivés, en mettant l'accent sur la propriété bijection du coth(x). L'instructeur démontre l'existence et la forme explicite des fonctions inverses, mettant en évidence les similitudes et les différences entre les dérivés d'arctanh(x) et d'arcoth(x).

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Concepts associés (20)

Sinus hyperbolique réciproque

Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique. La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique, notée arsinh (ou argsh), est définie à l'aide du sinus hyperbolique par : Cette fonction est bijective et son est . Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur et concave sur . Sa en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞. Elle est dérivable sur et sa dérivée est donnée par : Par conséquent : la fonction arsinh s'exprime à l'aide du log

Fonction hyperbolique

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x + y = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x – y = 1. Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Secteur hyperbolique

droite|200x200px En géométrie, un secteur hyperbolique est une région du plan cartésien délimitée par une hyperbole et deux rayons partant de l'origine vers celle-ci. Par exemple, les deux points et sur l'hyperbole équilatère , ou la région correspondante lorsque cette hyperbole est remise à l'échelle et que son orientation est modifiée par une rotation laissant le centre à l'origine, comme avec l'hyperbole unité. Un secteur hyperbolique en position standard part de et . Les secteurs hyperboliques sont à la base des fonctions hyperboliques.

Fonction circulaire réciproque

Les fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires, pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante sont appelées arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante. Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions.

Fonction de Gudermann

En mathématiques, la fonction de Gudermann, appelée aussi parfois gudermannien, et notée gd, nommée en l'honneur de Christoph Gudermann, fait le lien entre la trigonométrie circulaire et la trigonométrie hyperbolique sans faire intervenir les nombres complexes. La fonction de Gudermann est définie sur l'ensemble des réels par : Le réel , appelé parfois gudermannien de , est relié à ce dernier par les relations : La dérivée de la fonction de Gudermann est donnée par .

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Dérivés et fonctions réciproques

Couvre les dérivés, les fonctions réciproques, le théorème de Rolle et les concepts locaux extrémum.

Fonctions hyperboliques

Couvre les fonctions hyperboliques, y compris les définitions, les propriétés et les dérivés, expliqués avec des exemples détaillés et des dérivations.

Fonctions hyperboliques

Explore les fonctions hyperboliques, leurs propriétés et leurs dérivés, y compris le tanh(x) et l'arctanh(x).

Fonctions hyperboliques: Tangent et Cotangent

Couvre les définitions et les exemples de fonctions hyperboliques tangentes et cotangentes.

Fonctions hyperboliques inverses

Explore les fonctions hyperboliques inverses et leurs parallèles avec les fonctions trigonométriques, en dérivant des expressions explicites et en discutant de leurs propriétés.

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