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Séance de cours

Tensor Produit: Cartes Bilinéaires

Dans cours

MATH-311: Algebra IV - rings and modules

Ring and module theory with a major emphasis on commutative algebra and a minor emphasis on homological algebra. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de produit tenseur dans le contexte des cartes bilinéaires, en discutant de l'existence et des propriétés des produits tenseurs des modules. Il explore également l'idée d'homomorphismes bilinéaires et l'unicité des produits tenseurs.

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Enseignant·e·s (2)

Zsolt Patakfalvi

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Domenico Valloni

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Produit tensoriel

En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique). Théorème et définition. Soient et deux espaces vectoriels sur un corps commutatif .

Tenseur

En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur est un objet très général, dont la valeur s'exprime dans un espace vectoriel. On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs.

Forme bilinéaire

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments. Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application f : V × V → K telle que, pour tous et tous , Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires.

Application bilinéaire

En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire. Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire : Si G = K, on parle de forme bilinéaire. Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire : Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule.

Produit tensoriel de deux modules

Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.

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Théorème algébrique de la Kunneth

Couvre le théorème algébrique de la Kunneth, expliquant les complexes de chaîne et les calculs de cohomologie.

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