Séance de cours

Décomposition des algèbres de groupe

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Dans cours

MATH-334: Representation theory

Study the basics of representation theory of groups and associative algebras. ...

Description

Cette séance de cours couvre des exemples de décomposition d'algèbres de groupe en une somme directe d'algèbres matricielles, l'algèbre de groupe d'un groupe fini en tant que module gauche sur lui-même, et le concept d'une algèbre de dimension infinie simple, en particulier l'algèbre de Weyl sur un champ de caractéristique nulle. La séance de cours traite également des théorèmes liés à des modules simples, tels que les théorèmes de Wedderburn et Maschke, et fournit des exemples d'algèbres de groupe en tant que modules de gauche sur eux-mêmes. En outre, il explore la structure de l'algèbre de Weyl, sa base et ses propriétés en tant qu'algèbre simple qui n'est pas une algèbre matricielle. La séance de cours se termine par l'étude des produits tenseurs dans le contexte des algèbres de groupe.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Théorie des représentations

Concepts associés (32)

Module simple

Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

Module sur un anneau

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, : pour un espace vectoriel, l'ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement muni d'une structure d'anneau (unitaire, mais non nécessairement commutatif). Une partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.

Module semi-simple

thumb|Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire. Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.

Groupe algébrique

En géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .

Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute : center Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

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Séances de cours associées (64)

Algèbre de groupe : le théorème de Maschke

Explore le théorème de Wedderburn, les algèbres de groupe et le théorème de Maschke dans le contexte des algèbres simples de dimension finie et de leurs endomorphismes.

Théorie de la densité : Endomorphismes des modules simples

Couvre le théorème de densité dans la théorie des représentations, en se concentrant sur les endomorphismes des modules simples de dimension finie.

Idéaux et représentations

Couvre les idéaux, les représentations, les modules et les idéaux maximaux en algèbres associatives.

Structure des algèbres

Couvre la structure des algèbres dimensionnelles finies et la caractérisation des algèbres semi-simples.

Tenseur Produits des modules

Couvre les algèbres de tenseurs, les algèbres symétriques et extérieures, et les produits tenseurs des modules.

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Concepts associés (32)