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Séance de cours

Factorisation polynomiale : approche par champ

Dans cours

MATH-115(a): Algèbre linéaire avancée II - diagonalisation

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre la factorisation des polynômes sur un champ, en se concentrant sur la division avec le reste, les racines et la multiplicité. Il explique le concept d'irréductibilité, les diviseurs communs et l'algorithme euclidien de factorisation polynomiale.

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Enseignant·e

Friedrich Eisenbrand

Friedrich Eisenbrand's main research interests lie in the field of discrete optimization, in particular in algorithms and complexity, integer programming, geometry of numbers, and applied optimization. He is best known for his work on efficient algorithms for integer programming in fixed dimension and the theory of cutting planes, which are an important tool to solve large scale industrial optimization problems in practice. Before joining EPFL in March 2008, Friedrich Eisenbrand was a full professor of mathematics at the University of Paderborn. Friedrich received the Heinz Maier-Leibnitz award of the German Research Foundation (DFG) in 2004 and the Otto Hahn medal of the Max Planck Society in 2001.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Polynôme, Algèbre générale

Concepts associés (32)

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Polynomial greatest common divisor

In algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant.

Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Plus grand commun diviseur

En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10. Cette notion s'étend aux entiers relatifs grâce aux propriétés de la division euclidienne. Elle se généralise aussi aux anneaux euclidiens comme l'anneau des polynômes sur un corps commutatif. La notion de PGCD peut être définie dans tout anneau commutatif.

Diviseur

Le mot “diviseur” a deux significations en mathématiques. Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende. En arithmétique, un “diviseur” d'un entier n est un entier dont n est un multiple. Plus formellement, si d et n sont deux entiers, d est un diviseur de n seulement s'il existe un entier k tel que . Ainsi est un diviseur de car .

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Factorisation polynomiale sur les champs Finite

Introduit la factorisation polynôme sur les champs finis et le calcul efficace des plus grands diviseurs communs des polynômes.

Polynômes : Racines et factorisation

Explore en profondeur les racines polynômes, la factorisation et l'algorithme euclidien.

Factorisation polynomiale et décomposition

Couvre la factorisation polynôme, les polynômes irréductibles, la décomposition idéale, et le théorème de Bézout.

Méthodes polynomiales: Résumé du calcul GCD

Couvre le calcul du plus grand commun diviseur en utilisant des méthodes polynomiales et l'algorithme euclidien.

Algorithme euclidien

Explique l'algorithme euclidien des polynômes sur un champ K, illustrant son application avec des exemples.

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Factorisation des polynômes

Polynomial greatest common divisor

Factorisation

Plus grand commun diviseur

Diviseur

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