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Séance de cours

Factorisation polynomiale sur un champ : valeurs propres

Dans cours

MATH-115(a): Algèbre linéaire avancée II - diagonalisation

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre la factorisation des polynômes sur un champ, en se concentrant sur les valeurs propres. Les sujets abordés incluent la division avec le reste, l'algorithme euclidien, la factorisation en composants irréductibles et le caractère unique de la factorisation. L'instructeur démontre le processus avec des exemples et discute des propriétés des polynômes irréductibles et des vecteurs propres.

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Enseignant·e

Friedrich Eisenbrand

Friedrich Eisenbrand's main research interests lie in the field of discrete optimization, in particular in algorithms and complexity, integer programming, geometry of numbers, and applied optimization. He is best known for his work on efficient algorithms for integer programming in fixed dimension and the theory of cutting planes, which are an important tool to solve large scale industrial optimization problems in practice. Before joining EPFL in March 2008, Friedrich Eisenbrand was a full professor of mathematics at the University of Paderborn. Friedrich received the Heinz Maier-Leibnitz award of the German Research Foundation (DFG) in 2004 and the Otto Hahn medal of the Max Planck Society in 2001.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Polynôme

Concepts associés (32)

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Polynôme irréductible

In mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients.

Factorisation aurifeuillienne

En théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique. Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers.

Anneau euclidien

vignette|Statue d'Euclide à Oxford. En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique.

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Division euclidienne : Unicité et restant

Explore la division euclidienne pour les polynômes, mettant l'accent sur l'unicité du quotient et le reste.

Factorisation polynomiale et décomposition

Couvre la factorisation polynôme, les polynômes irréductibles, la décomposition idéale, et le théorème de Bézout.

Valeurs propres complexes Annexe MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 2)

Couvre la factorisation des polynômes avec des coefficients complexes et diagonalizabilité des matrices.

Polynômes : Racines et factorisation

Explore en profondeur les racines polynômes, la factorisation et l'algorithme euclidien.

Exemples : Factorisation polynomiale MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes

Couvre les exemples de factorisation polynomiale et la division polynomiale en nombres complexes.

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Factorisation des polynômes

Factorisation

Polynôme irréductible

Factorisation aurifeuillienne

Anneau euclidien

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