Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Factorisation des polynômesEn mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.
Polynôme irréductibleIn mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients.
FactorisationEn mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
Plus grand commun diviseurEn arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10. Cette notion s'étend aux entiers relatifs grâce aux propriétés de la division euclidienne. Elle se généralise aussi aux anneaux euclidiens comme l'anneau des polynômes sur un corps commutatif. La notion de PGCD peut être définie dans tout anneau commutatif.
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