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Séance de cours

Analyse IV : Le Spaces

Description

Cette séance de cours couvre le concept de Le spaces, définissant les fonctions mesurables, les relations d'équivalence, l'inégalité Holder et les preuves liées à l'inégalité Holder. Il discute également des propriétés des espaces LP et conclut avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz. L'instructeur met l'accent sur les définitions formelles et les propriétés de ces concepts mathématiques.

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Enseignant·e

Maria Colombo

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (25)

Espace Lp

En mathématiques, un espace L est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L de fonctions bornées. Les espaces L sont appelés espaces de Lebesgue. Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1.

Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions , comme les espaces de suites . C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes. Plus généralement, pour et défini par , si et alors et . De plus, lorsque et sont finis, il y a égalité si et seulement si et sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe et non simultanément nuls tels que p.

Injections de Sobolev

En mathématiques, les inégalités de Sobolev sont des résultats mettant en relation des normes dont celles des espaces de Sobolev. Ces inégalités sont utilisées pour démontrer le théorème de plongement de Sobolev (injection), qui permet d'énoncer des inclusions entre certains espaces de Sobolev, mais aussi le théorème de Rellich – Kondrachov qui montre que dans des conditions légèrement plus fortes, certains espaces de Sobolev peuvent s'injecter de manière compacte dans d'autres espaces.

Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour 1 ≤ p ≤ ∞, une structure d'espace de Banach. Considérons l'espace vectoriel réel R, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels. La norme euclidienne d'un vecteur est donnée par : Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur R, appelée la p-norme, en posant : pour tout vecteur . Pour tout p ≥ 1, R muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé.

Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité D du plan complexe. Soit f une fonction holomorphe sur D, on sait que f admet un développement en série de Taylor en 0 sur le disque unité : On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H(D) si la suite appartient à l. Autrement dit, on a : On définit alors la norme de f par : La fonction appartient à H(D), par convergence de la série (série de Riemann convergente).

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Séances de cours associées (32)

Espaces de mesure: mesures de O-finite et de probabilité

Explore les espaces de mesure finis et finis, les mesures de probabilité et les inégalités, en concluant avec l'exhaustivité de l'espace LP.

Espaces de mesure : intégration et inégalités

Les couvertures mesurent les espaces, l'intégration, la propriété Radon-Nikodym et les inégalités comme Jensen, Hlder et Minkowski.

Théorie des probabilités : intégration et convergence

Couvre des sujets en théorie des probabilités, en se concentrant sur l'intégrabilité uniforme et les théorèmes de convergence.

Composition des applications en mathématiques

Explore la composition des applications en mathématiques et l'importance de comprendre leurs propriétés.

Algorithmes d'approximation

Couvre les algorithmes d'approximation pour les problèmes d'optimisation, la relaxation LP et les techniques d'arrondi aléatoire.

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Concepts associés (25)

Espace Lp

Inégalité de Hölder

Injections de Sobolev

Espace de suites ℓp

Espace de Hardy

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