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Séance de cours

Erreur et récurrence

Dans cours (2)

MATH-250: Advanced numerical analysis I

Construction and analysis of numerical methods for the solution of problems from linear algebra, integration, approximation, and differentiation. ...

MATH-251(c): Analyse numérique

Le cours présente des méthodes numériques pour la résolution de problèmes mathématiques comme des systèmes d'équations linéaires ou non linéaires, l'approximation de fonctions, l'intégration et la dérivation, et les équations différentielles. ...

Description

Cette séance de cours traite du calcul itératif des erreurs dans un contexte mathématique, en explorant la relation entre les erreurs à différentes étapes et le rayon spectral d'une matrice. L'instructeur explique comment définir et calculer les erreurs, ainsi que la signification du rayon spectral dans l'analyse des erreurs.

Enseignant·e·s (3)

Daniel Kressner

Annalisa Buffa

Simone Deparis

Source officielle

Concepts associés (15)

Error analysis (mathematics)

In mathematics, error analysis is the study of kind and quantity of error, or uncertainty, that may be present in the solution to a problem. This issue is particularly prominent in applied areas such as numerical analysis and statistics. In numerical simulation or modeling of real systems, error analysis is concerned with the changes in the output of the model as the parameters to the model vary about a mean. For instance, in a system modeled as a function of two variables Error analysis deals with the propagation of the numerical errors in and (around mean values and ) to error in (around a mean ).

Erreur d'approximation

vignette|Approximation de la fonction exponentielle par une fonction affine. En analyse numérique, une branche des mathématiques, l'erreur d'approximation de certaines données est la différence entre une valeur exacte et une certaine valeur approchée ou approximation de celle-ci. Une erreur d'approximation peut se produire lorsque la mesure des données n'est pas précise (en raison des instruments) ; ou lors de l'emploi de valeurs approchées au lieu des valeurs exactes (par exemple, 3,14 au lieu de π).

Erreur d'arrondi

Une erreur d'arrondi est la différence entre la valeur approchée calculée d'un nombre et sa valeur mathématique exacte. Des erreurs d'arrondi naissent généralement lorsque des nombres exacts sont représentés dans un système incapable de les exprimer exactement. Les erreurs d'arrondi se propagent au cours des calculs avec des valeurs approchées ce qui peut augmenter l'erreur du résultat final. Dans le système décimal des erreurs d'arrondi sont engendrées, lorsqu'avec une troncature, un grand nombre (peut-être une infinité) de décimales ne sont pas prises en considération.

Norme matricielle

En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices. Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes. Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.

Rayon spectral

Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), .

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