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Fonctions de puissance: Propriétés et dérivés

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Description

Cette séance de cours couvre les propriétés des logarithmes dans la base b, y compris le logarithme de 1, la relation entre les différentes bases, et la règle de puissance pour les logarithmes. Il introduit également des fonctions de puissance généralisées définies comme exponentielles du produit du logarithme naturel d'une fonction et d'une autre fonction. La séance de cours explore en outre les dérivés des fonctions logarithmiques et exponentielles, en se concentrant sur le quotient de Newton et le dérivé du logarithme naturel. Des exemples sont fournis pour illustrer les concepts, tels que la dérivée des fonctions exponentielles et le comportement des fonctions cosines sinusales. La séance de cours se termine par l'application de théorèmes pour déterminer le signe des dérivés et le calcul des dérivés exponentiels.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Calcul infinitésimal, Analyse complexe

Concepts associés (32)

Dérivée

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet. La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

Dérivée logarithmique

En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction f dérivable ne s'annulant pas est la fonction : où f est la dérivée de f. Lorsque la fonction f est à valeurs réelles strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de f par la fonction logarithme ln, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.

Power rule

In calculus, the power rule is used to differentiate functions of the form , whenever is a real number. Since differentiation is a linear operation on the space of differentiable functions, polynomials can also be differentiated using this rule. The power rule underlies the Taylor series as it relates a power series with a function's derivatives. Let be a function satisfying for all , where . Then, The power rule for integration states that for any real number . It can be derived by inverting the power rule for differentiation.

Generalizations of the derivative

In mathematics, the derivative is a fundamental construction of differential calculus and admits many possible generalizations within the fields of mathematical analysis, combinatorics, algebra, geometry, etc. The Fréchet derivative defines the derivative for general normed vector spaces . Briefly, a function , an open subset of , is called Fréchet differentiable at if there exists a bounded linear operator such that Functions are defined as being differentiable in some open neighbourhood of , rather than at individual points, as not doing so tends to lead to many pathological counterexamples.

Logarithme

vignette|Tracés des fonctions logarithmes en base 2, e et 10. En mathématiques, le logarithme (de logos : rapport et arithmos : nombre) de base d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir ce nombre. Dans le cas le plus simple, le logarithme compte le nombre d'occurrences du même facteur dans une multiplication répétée : comme 1000 = 10×10×10 = 10, le logarithme en base 10 de 1000 est 3. Le logarithme de en base est noté : . John Napier a développé les logarithmes au début du .

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Séances de cours associées (64)

Pouvoirs généralisés : dérivés et exponentiels

Couvre les propriétés des logarithmes, des dérivés, des exponentiels et des fonctions sinus-cosine.

Calcul différentiel : définition et dérivéabilité

Explore la définition et la dérivée des fonctions dans le calcul différentiel, en mettant laccent sur la différentiabilité à des points spécifiques.

Tangente au graphe d'une fonction

Explore la recherche de l'équation de la tangente au graphe d'une fonction à un point.

Dérivés : définition et propriétés

Explore la définition et les propriétés des dérivés, y compris les pentes des lignes tangentes et les conditions de différentiabilité.

Nombres et fonctions réels

Introduit l'analyse réelle I, couvrant les nombres réels, les fonctions, les limites, les dérivés et les intégrales.

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Concepts associés (32)

Dérivée

Dérivée logarithmique

Power rule

Generalizations of the derivative

Logarithme

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