Séance de cours

Calcul des variations et Euler's Elastica

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Dans cours

ME-411: Mechanics of slender structures

Analysis of the mechanical response and deformation of slender structural elements. ...

Description

Cette séance de cours couvre les méthodes variationnelles, le calcul des variations avec contraintes, la forme d'équilibre d'un faisceau inextensible courbé, l'Elastica d'Euler, les méthodes numériques comme la méthode de tir et les méthodes analytiques impliquant des intégrales elliptiques. L'instructeur se penche sur le problème de Brachistochrone, la naissance du calcul des variations et l'analyse des grandes déformations des courbes élastiques. La séance de cours explore le flambage des structures élancées, la détermination des conditions satisfaisantes et l'intégration par parties. Il se termine par l'étude de l'Elastica d'Euler, des équations sans dimension et des solutions analytiques utilisant des lois d'échelle.

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Enseignant·e

Pedro Miguel Nunes Pereira de Almeida Reis

Pedro M. Reis is a Professor of Mechanical Engineering at the École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) in Switzerland, where he is the Director of the Institute of Mechanical Engineering. Prof. Reis received a B.Sc. in Physics from the University of Manchester, UK (1999), a Certificate of Advanced Studies in Mathematics (Part III Maths) from St. John’s College and DAMTP, University of Cambridge (2000), and a Ph.D. in physics from the University of Manchester (2004). He was a postdoc at the City College of New York (2004-2005) and at the CNRS/ESPCI in Paris (2005-2007). He joined MIT in 2007 as an Instructor in Applied Mathematics. In 2010 he moved to MIT’s School of Engineering, with dual appointments in Mechanical Engineering and Civil & Environmental Engineering, first as the Esther and Harold E. Edgerton Assistant Professor and, since the summer of 2014 as Gilbert W. Winslow Associate Professor. In October 2013, the Popular Science magazine named Prof. Reis to its 2013 “Brilliant 10” list of young stars in Science and Technology. He has received the 2014 CAREER Award (NSF), the 2016 Thomas J.R. Hughes Young Investigator Award (Applied Mechanics Division of the ASME), the 2016 GSOFT Early Career Award for Soft Matter Research (APS), he is a Fellow of the APS, and he is the 2021 President of the Society of Engineering Science (SES).

Source officielle

Concepts associés (32)

Courbe brachistochrone

Le mot brachistochrone désigne une courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés : on parle de problème de la courbe brachistochrone. vignette|right|upright=1.5|Comparaison des vitesses d'objets suivant différentes courbes. Le mot brachistochrone vient du grec brakhistos (« le plus court ») et s'écrit donc avec un i et non un y, et de chronos (« temps »).

Analyse numérique

L’analyse numérique est une discipline à l'interface des mathématiques et de l'informatique. Elle s’intéresse tant aux fondements qu’à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre, par des calculs purement numériques, des problèmes d’analyse mathématique. Plus formellement, l’analyse numérique est l’étude des algorithmes permettant de résoudre numériquement par discrétisation les problèmes de mathématiques continues (distinguées des mathématiques discrètes).

Courbe tautochrone

vignette|Illustration. Une courbe tautochrone est une courbe située dans un plan vertical, où le temps pris par une particule glissant le long de la courbe sous l'influence uniforme de la gravité jusqu'à son point le plus bas est indépendant de son point de départ. Le problème tautochrone, l'essai d'identifier cette courbe, fut résolu par Huygens en 1659 dans le cas où seule la gravité agit. Il prouva géométriquement dans son Horologium oscillatorium (1673) que la courbe était une cycloïde.

Numerical methods for ordinary differential equations

Numerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.

Direct method in the calculus of variations

In mathematics, the direct method in the calculus of variations is a general method for constructing a proof of the existence of a minimizer for a given functional, introduced by Stanisław Zaremba and David Hilbert around 1900. The method relies on methods of functional analysis and topology. As well as being used to prove the existence of a solution, direct methods may be used to compute the solution to desired accuracy. The calculus of variations deals with functionals , where is some function space and .

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Séances de cours associées (64)

Méthodes numériques: forme variationnelle faible et intégration par parties

Explore les méthodes d'approximation et les formes variationnelles faibles dans les méthodes numériques.

Équations des vagues: Chaîne vibrante

Explore l'équation d'onde pour une chaîne vibrante et sa solution numérique en utilisant des formules de différence finie et le schéma Newmark dans MATLAB/GNU Octave.

Éléments finis: Élasticité et formation variée

Explore les méthodes d'éléments finis pour les problèmes d'élasticité et les formulations variationnelles, en mettant l'accent sur les déformations admissibles et les implémentations numériques.

Équation Euler-Lagrange: Problèmes de convexité et de point de selle

Explore l'équation Euler-Lagrange, la convexité et les problèmes de point de selle dans le calcul variationnel.

Optimisation avec contraintes : théorie et applications

Couvre la théorie et les applications de l'optimisation avec des contraintes, y compris les concepts clés et les méthodes numériques.

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