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Séance de cours

Local-existence-unicité-théorème

Dans cours

MATH-105(a): Analyse avancée II - analyse vectorielle

Etudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables. ...

Description

Cette séance de cours traite de l'application de l'existence locale et du théorème de l'unicité, en mettant l'accent sur le problème de Cauchy. Il couvre la preuve du théorème, le concept de solutions maximales, et des exemples illustrant la théorie. La séance de cours explore également les conditions de l'existence mondiale et de l'unicité des solutions, en mettant l'accent sur la continuité de Lipschitz. Diverses preuves et conclusions sont présentées pour démontrer les concepts théoriques.

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Enseignant·e·s (2)

Boris Buffoni

Fabio Nobile

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Concepts associés (12)

Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure, en valeur absolue, à une constante appelée constante de Lipschitz. Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.

Démonstration (logique et mathématiques)

vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.

Module de continuité

En analyse mathématique, un module de continuité est une fonction ω : [0, ∞] → [0, ∞] utilisée pour mesurer quantitativement la continuité uniforme des fonctions. Ainsi, une fonction f : I → R admet ω pour module de continuité si et seulement si Puisqu'on impose aux modules de continuité de s’annuler et d'être continus en 0, une fonction est uniformément continue si et seulement si elle admet un module de continuité. De plus, le fait qu'une famille de fonctions admette un module de continuité commun est identique à la notion d'équicontinuité.

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

Le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà est un théorème d'analyse qui garantit qu'un problème de Cauchy possède toujours au moins une solution locale, sous réserve que la fonction définissant l'équation différentielle soit continue. Soient une fonction continue à valeurs dans , définie sur un cylindre compact , un majorant de la norme de sur , Alors, il existe une solution au problème de Cauchy On peut même, dans cet énoncé, remplacer simultanément les deux intervalles centrés en par des demi-intervalles d'extrémité .

Proof by contradiction

In logic, proof by contradiction is a form of proof that establishes the truth or the validity of a proposition, by showing that assuming the proposition to be false leads to a contradiction. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of nonconstructive proof as universally valid. More broadly, proof by contradiction is any form of argument that establishes a statement by arriving at a contradiction, even when the initial assumption is not the negation of the statement to be proved.

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Séances de cours associées (32)

Démonstration du Théorème de l'Unicité

Présente une preuve détaillée de l'unicité théorème pour les fonctions f et g.

Fonctions réelles: Théorème de la continuité

Couvre le théorème de continuité pour les fonctions dépendant d'un paramètre, prouvant la continuité d'une fonction g.

Théorème de Darboux: Analyse avancée I

Explore le théorème de Darboux pour des fonctions continues à intervalles fermés, mettant l'accent sur la continuité uniforme et les implications de comportement de fonction.

Analyse avancée I: Fonctions continues sur les ensembles compacts

Explore la nécessité d'une continuité uniforme pour des fonctions continues sur des ensembles compacts.

Séparation des variables : résoudre les équations différentielles

Couvre la méthode de séparation des variables pour résoudre les équations différentielles, en se concentrant sur la construction et l'unicité des solutions.

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Concepts associés (12)

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Démonstration (logique et mathématiques)

Module de continuité

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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