Mesure de LebesgueLa mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice.
Théorème de FubiniEn mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.
Ensemble négligeablevignette|Le triangle de Sierpiński est un exemple d'ensemble nul de points dans R 2 \mathbb {R} ^{2}. En théorie de la mesure, dans un espace mesuré, un ensemble négligeable est un ensemble de mesure nulle ou une partie d'un tel ensemble. La définition peut dépendre de la mesure choisie : deux mesures sur un même espace mesurable qui ont les mêmes ensembles de mesure nulle sont dites équivalentes. À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable pour un certain nombre d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure.
Complétion d'une mesureEn mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie. Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne.
Mesure (mathématiques)En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement.
Continuous functionIn mathematics, a continuous function is a function such that a continuous variation (that is a change without jump) of the argument induces a continuous variation of the value of the function. This means that there are no abrupt changes in value, known as discontinuities. More precisely, a function is continuous if arbitrarily small changes in its value can be assured by restricting to sufficiently small changes of its argument. A discontinuous function is a function that is .
Mesure de JordanEn mathématiques, la mesure de Peano-Jordan est une extension de la notion de taille (longueur, aire, volume), aisément définie pour des domaines simples tels que le rectangle ou le parallélépipède, à des formes plus compliquées. La mesure de Jordan s'avère trop restrictive pour certains ensembles qu'on pourrait souhaiter être mesurables. Pour cette raison, il est maintenant plus fréquent de travailler avec la mesure de Lebesgue, qui est une extension de la mesure de Jordan à une plus grande classe d'ensembles.
Fonction continue nulle partEn mathématiques, une fonction nulle part continue, également appelée fonction discontinue partout, est une fonction qui n'est continue en aucun point de son domaine. Si f est une fonction définie sur les nombres réels à valeur dans les nombres réels, alors f est nulle part continue si pour chaque point x il existe un tel que pour chaque nous pouvons trouver un point y tel que et . Par conséquent, peu importe à quel point nous nous rapprochons d'un point fixé, il existe des points encore plus proches auxquels la fonction prend des valeurs qui ne sont pas proches.
Théorème d'extension de CarathéodoryEn théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn ou théorème de Hahn-Kolmogorov (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité).
Algèbre des parties d'un ensembleEn théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble, muni des opérations d'intersection, de réunion, et de passage au complémentaire, possède une structure d'algèbre de Boole. D'autres opérations s'en déduisent, comme la différence ensembliste et la différence symétrique. L'algèbre des parties d'un ensemble étudie l'arithmétique de ces opérations (voir l'article « Opération ensembliste » pour des opérations qui ne laissent pas stable l'ensemble des parties d'un ensemble).
Théorème des valeurs intermédiairesvignette|Illustration du théorème des valeurs intermédiaires : si f est une fonction continue sur l'intervalle [a ; b], alors elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) au moins une fois. Ici la valeur s est prise trois fois. En mathématiques, le théorème des valeurs intermédiaires (abrégé en TVI), parfois appelé théorème de Bolzano, est un résultat important en analyse et concerne des fonctions continues sur un intervalle.
DérivabilitéUne fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.
Continuité uniformeEn topologie, la continuité uniforme (ou l'uniforme continuité) est une propriété plus forte que la continuité, et se définit dans les espaces métriques ou plus généralement les espaces uniformes. Contrairement à la continuité, la continuité uniforme n'est pas une notion « purement topologique » c'est-à-dire ne faisant intervenir que des ouverts : sa définition dépend de la distance ou de la structure uniforme. Le contexte typique de la définition de la continuité uniforme est celui des espaces métriques. N.
Algèbre d'ensemblesLe concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. Cette définition évoque celle d'une tribu ; en les rapprochant on constate immédiatement qu'un ensemble de parties d'un ensemble est une tribu si et seulement si c'est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable.
Continuous linear operatorIn functional analysis and related areas of mathematics, a continuous linear operator or continuous linear mapping is a continuous linear transformation between topological vector spaces. An operator between two normed spaces is a bounded linear operator if and only if it is a continuous linear operator. Continuous function (topology) and Discontinuous linear map Bounded operator Suppose that is a linear operator between two topological vector spaces (TVSs). The following are equivalent: is continuous.
Sigma additivitévignette|Illustration de la sigma additivité La sigma additivité, appelé aussi additivité dénombrable, est un concept en théorie de la mesure. Soit un ensemble et un ensemble de parties de . On dit que l'application μ est σ-additive sur lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : si E1, E2, ... est une suite d'éléments de , si ces parties de sont deux à deux disjointes et si leur réunion E est aussi un élément de , alors la valeur μ(E) de μ sur cette réunion E est égale à la somme des valeurs de μ sur les parties Ek : Il s'agit d'une version plus forte de l'additivité simple.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
VolumeLe volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace. En physique : le volume d'un objet ou d'une figure géométrique tridimensionnelle et fermée mesure l'extension dans l'espace physique qu'il ou elle possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure l'extension qu'elle possède dans les deux directions en même temps ; par extension, on étend la notion de volume à des espaces abstraits, dont les coordonnées peuvent avoir une ou des dimensions autres que celle d'une longueur.
Forme volumeEn géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés, et la définition générale des orientations. Une forme volume se définit comme une forme différentielle de degré maximal, nulle en aucun point. Pour qu'une variété admette une forme volume, il faut et il suffit qu'elle soit orientable. Dans ce cas, il en existe une infinité.
Volume elementIn mathematics, a volume element provides a means for integrating a function with respect to volume in various coordinate systems such as spherical coordinates and cylindrical coordinates. Thus a volume element is an expression of the form where the are the coordinates, so that the volume of any set can be computed by For example, in spherical coordinates , and so . The notion of a volume element is not limited to three dimensions: in two dimensions it is often known as the area element, and in this setting it is useful for doing surface integrals.
