Complétion d'une mesure

En mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie. Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne. Le procédé utilisé par Lebesgue pour construire la mesure à laquelle on a donné son nom, à savoir l'utilisation judicieuse d'une mesure extérieure, peut être appliqué à une mesure σ-finie abstraite et fournit une autre méthode de production de sa complétion. Pour un espace mesuré, on note où désigne la différence symétrique. Comme le rappelle la notation, cette extension de la tribu dépend de . Une partie n'est en effet négligeable que par rapport à une mesure donnée. La mesure construite ci-avant est appelée la mesure complétée de , la tribu étant appelée la tribu complétée de relativement à . Sur , la tribu de Lebesgue est la complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue (restreinte aux boréliens). Selon le point de vue adopté, ce peut être la définition de la tribu de Lebesgue ou un théorème à la ; dans cette deuxième hypothèse, la définition de la mesure de Lebesgue a reposé sur une construction de mesure extérieure et les idées de la preuve sont grosso modo les mêmes que celles utilisées pour prouver le théorème plus général figurant ci-dessous à la section « Mesure complétée et mesure extérieure ». Notons la mesure de Lebesgue sur , définie sur la tribu de Lebesgue. Si on travaille dans une théorie des ensembles garantissant l'existence d'ensembles non mesurables au sens de Lebesgue (typiquement avec l'axiome du choix), le produit n'est pas une mesure complète. En effet si A est un ensemble non mesurable, A×{0} n'appartient pas à la tribu produit alors pourtant qu'il est négligeable pour la mesure produit.