Forme volume

En géométrie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés, et la définition générale des orientations. Une forme volume se définit comme une forme différentielle de degré maximal, nulle en aucun point. Pour qu'une variété admette une forme volume, il faut et il suffit qu'elle soit orientable. Dans ce cas, il en existe une infinité. En présence d'une structure supplémentaire (riemannienne, symplectique ou autre), il est judicieux de choisir une forme volume spécifique. Soit une variété différentielle de dimension . Une forme volume est une section de la -ème puissance extérieure du fibré cotangent, nulle en aucun point. La régularité de cette section peut dépendre du contexte ; souvent on l'impose de classe , les résultats pouvant s'adapter ensuite à des régularités plus faibles. Dans une carte locale , une forme volume s'écrit : où est une fonction réelle différentiable ne s'annulant pas. Si est une forme volume, alors les formes différentielles de degré sont toutes de la forme , avec une fonction numérique. Une fois fixée une forme volume, les formes volumes sont de suite en bijection avec . Orientation (mathématiques) Pour une forme volume sur une variété , une base de l'espace tangent en à la variété est dite directe quand la forme volume, évaluée sur les vecteurs de base, donne un résultat positif. En particulier, la variété est orientée. L'orientabilité de la variété est l'unique condition nécessaire et suffisante pour l'existence de formes volumes. Il est facile de démontrer que le fibré vectoriel est isomorphe au-dessus de à . Le choix d'une orientation (si elle existe) de est le choix d'une section de générateurs de et définit donc par l'isomorphisme précédent une section de , soit donc une forme volume. Toutefois, le choix d'une orientation n'impose pas un unique choix d'une forme volume. Une forme volume est nécessairement fermée. En cohomologie de De Rham, sa classe est un générateur de .