Ringed spaceIn mathematics, a ringed space is a family of (commutative) rings parametrized by open subsets of a topological space together with ring homomorphisms that play roles of restrictions. Precisely, it is a topological space equipped with a sheaf of rings called a structure sheaf. It is an abstraction of the concept of the rings of continuous (scalar-valued) functions on open subsets. Among ringed spaces, especially important and prominent is a locally ringed space: a ringed space in which the analogy between the stalk at a point and the ring of germs of functions at a point is valid.
Spectre d'anneauEn mathématiques, le spectre premier d'un anneau commutatif unitaire A désigne l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble est muni d'une topologie (de Zariski) et d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaires qui en font un espace topologique annelé en anneaux locaux. Cet espace est alors appelé un schéma affine et il sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique. Le spectre d'un anneau commutatif A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec A.
Anneau localEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Morphism of algebraic varietiesIn algebraic geometry, a morphism between algebraic varieties is a function between the varieties that is given locally by polynomials. It is also called a regular map. A morphism from an algebraic variety to the affine line is also called a regular function. A regular map whose inverse is also regular is called biregular, and the biregular maps are the isomorphisms of algebraic varieties.
Morphism of schemesIn algebraic geometry, a morphism of schemes generalizes a morphism of algebraic varieties just as a scheme generalizes an algebraic variety. It is, by definition, a morphism in the category of schemes. A morphism of algebraic stacks generalizes a morphism of schemes. By definition, a morphism of schemes is just a morphism of locally ringed spaces. A scheme, by definition, has open affine charts and thus a morphism of schemes can also be described in terms of such charts (compare the definition of morphism of varieties).
Morphisme platEn géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille. Un morphisme est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif. Si est un faisceau quasi-cohérent sur X.
Espace vectoriel topologiqueEn mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.
Étale morphismIn algebraic geometry, an étale morphism (etal) is a morphism of schemes that is formally étale and locally of finite presentation. This is an algebraic analogue of the notion of a local isomorphism in the complex analytic topology. They satisfy the hypotheses of the implicit function theorem, but because open sets in the Zariski topology are so large, they are not necessarily local isomorphisms. Despite this, étale maps retain many of the properties of local analytic isomorphisms, and are useful in defining the algebraic fundamental group and the étale topology.
Faisceau (mathématiques)En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert.
Complete topological vector spaceIn functional analysis and related areas of mathematics, a complete topological vector space is a topological vector space (TVS) with the property that whenever points get progressively closer to each other, then there exists some point towards which they all get closer. The notion of "points that get progressively closer" is made rigorous by or , which are generalizations of , while "point towards which they all get closer" means that this Cauchy net or filter converges to The notion of completeness for TVSs uses the theory of uniform spaces as a framework to generalize the notion of completeness for metric spaces.
Coherent sheafIn mathematics, especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, coherent sheaves are a class of sheaves closely linked to the geometric properties of the underlying space. The definition of coherent sheaves is made with reference to a sheaf of rings that codifies this geometric information. Coherent sheaves can be seen as a generalization of vector bundles. Unlike vector bundles, they form an , and so they are closed under operations such as taking , , and cokernels.
MorphismeEn mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Partie bornée d'un espace vectoriel topologiqueEn analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale.
Espace topologiqueLa topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique.
Espace de FréchetUn espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables et aux espaces de distributions.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Faisceau (de modules)En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural . Sur un espace localement annelé , un faisceau de -modules (ou un -Module) est un faisceau sur tel que soit un -module pour tout ouvert , et que pour tout ouvert contenu dans , l'application restriction soit compatible avec les structures de modules: pour tous , on a Les notions de sous--modules et de morphismes de -modules sont claires.
Cohomologie des faisceauxLes groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines : où est une résolution injective du faisceau , et désigne le groupe abélien des sections globales de . A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie. Le zéroième groupe est canoniquement isomorphe à .
Faisceau injectifEn mathématiques, un faisceau injectif est un d'une catégorie abélienne de faisceaux. Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique fixé, un faisceau est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau d'un faisceau , tout morphisme injectif de dans se prolonge en un morphisme de dans . Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche est exact. On en déduit immédiatement : Pour tout point de , il existe un plongement de la fibre dans un groupe abélien injectif .
Anneau (mathématiques)vignette|Richard Dedekind - 1870 En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions sont représentées dans la littérature mathématique, selon la considération d'un élément neutre : la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, avec la multiplication ayant un élément neutre ; tandis que, selon de nombreux ouvrages, la présence d'une unité multiplicative n'est pas requise, et ce type d'anneau est ailleurs dénommé pseudo-anneau.
