Partie bornée d'un espace vectoriel topologique

En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale. Une partie B d'un espace vectoriel topologique E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V. Toute partie finie est bornée. Les termes d'une suite de Cauchy forment une partie bornée, mais pas ceux d'une suite généralisée de Cauchy. Toute partie relativement compacte d'un e.v.t. est bornée. Si l'espace est muni d'une topologie polaire faible, la réciproque est vraie. Un sous-espace vectoriel non nul d'un e.v.t. séparé n'est jamais borné. Si le corps topologique de base est valué et non discret (typiquement : si c'est le corps des réels), une partie B de E est bornée si et seulement si : pour toute suite (λ) de scalaires qui tend vers 0 et toute suite (x) d'éléments de B, la suite (λx) tend vers le vecteur nul. Si l'e.v.t. E est localement convexe, i.e. si sa topologie est définie par une famille (p) de semi-normes, une partie B de E est bornée au sens ci-dessus si et seulement si elle est bornée pour chaque p, c'est-à-dire si pour tout indice i, il existe un réel M tel que . En particulier si E est un espace vectoriel normé, B est bornée au sens ci-dessus si et seulement si elle est bornée pour la norme. Toute partie précompacte d'un e.v.t. séparé est bornée. L'adhérence d'une partie bornée est bornée. Dans un espace localement convexe, l'enveloppe convexe d'une partie bornée est bornée. (Sans l'hypothèse de convexité locale, c'est faux : par exemple les espaces L pour 0 < p < 1 n'ont pas d'ouverts convexes non triviaux.