Sous-groupe caractéristiqueDans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G : Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un
Distributivity (order theory)In the mathematical area of order theory, there are various notions of the common concept of distributivity, applied to the formation of suprema and infima. Most of these apply to partially ordered sets that are at least lattices, but the concept can in fact reasonably be generalized to semilattices as well. Probably the most common type of distributivity is the one defined for lattices, where the formation of binary suprema and infima provide the total operations of join () and meet ().
Anneau quotientEn mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
Relation d'équivalenceEn mathématiques, une relation d'équivalence permet, dans un ensemble, de mettre en relation des éléments qui sont similaires par une certaine propriété. On pourra ainsi regrouper ces éléments par « paquets » d'éléments qui se ressemblent, définissant ainsi la notion de classe d'équivalence, pour enfin construire de nouveaux ensembles en « assimilant » les éléments similaires à un seul et même élément. On aboutit alors à la notion d'ensemble quotient. vignette|upright=1.5|Sur cet ensemble de huit exemplaires de livres, la relation « .
QuotientEn mathématiques, un quotient est le résultat d'une division. Le quotient existe ou pas selon l'ensemble de nombres considéré. Dans les entiers naturels, le quotient de par n'existe que si est un multiple de . On parle alors de quotient euclidien, puisqu'il résulte d'une division euclidienne. Le mot quotient s'emploie parfois pour fraction.
Produit d'anneauxEn algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit. Cette construction peut se faire de la manière suivante : si (Ai) est une famille d'anneaux, le produit cartésien Π Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e. (ai) + (bi) = (ai + bi) (ai) · (bi) = (ai · bi) 1 = (1) À la place de Π1≤i≤k Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × ... × Ak. Un exemple est l'anneau Z/nZ des entiers modulo n.
Fraction continue généraliséeEn mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.
Idéal (théorie des ordres)En mathématiques, un idéal au sens de la théorie des ordres est un sous-ensemble particulier d'un ensemble ordonné. Bien qu'à l'origine ce terme soit issu de la notion algébrique d'idéal d'un anneau, il a été généralisé en une notion distincte. Les idéaux interviennent dans beaucoup de constructions en théorie des ordres, en particulier des treillis. Un idéal d'un ensemble ordonné (E, ≤) est une partie non vide I de E telle que : I est une section commençante, c'est-à-dire que tout minorant d'un élément de I appartient à I ; I est un ensemble ordonné filtrant, c'est-à-dire que deux éléments quelconques de I possèdent toujours un majorant commun dans I.
Equivalence classIn mathematics, when the elements of some set have a notion of equivalence (formalized as an equivalence relation), then one may naturally split the set into equivalence classes. These equivalence classes are constructed so that elements and belong to the same equivalence class if, and only if, they are equivalent. Formally, given a set and an equivalence relation on the of an element in denoted by is the set of elements which are equivalent to It may be proven, from the defining properties of equivalence relations, that the equivalence classes form a partition of This partition—the set of equivalence classes—is sometimes called the quotient set or the quotient space of by and is denoted by .
Distributive latticeIn mathematics, a distributive lattice is a lattice in which the operations of join and meet distribute over each other. The prototypical examples of such structures are collections of sets for which the lattice operations can be given by set union and intersection. Indeed, these lattices of sets describe the scenery completely: every distributive lattice is—up to isomorphism—given as such a lattice of sets. As in the case of arbitrary lattices, one can choose to consider a distributive lattice L either as a structure of order theory or of universal algebra.
Completely distributive latticeIn the mathematical area of order theory, a completely distributive lattice is a complete lattice in which arbitrary joins distribute over arbitrary meets. Formally, a complete lattice L is said to be completely distributive if, for any doubly indexed family {xj,k | j in J, k in Kj} of L, we have where F is the set of choice functions f choosing for each index j of J some index f(j) in Kj. Complete distributivity is a self-dual property, i.e. dualizing the above statement yields the same class of complete lattices.
Treillis des sous-groupesthumb|Diagramme de Hasse du treillis des sous-groupes du groupe diédral D. En mathématique, le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partielle. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection. Le groupe diédral D des huit isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris D lui-même et son sous-groupe trivial.
