Idéal (théorie des ordres)

En mathématiques, un idéal au sens de la théorie des ordres est un sous-ensemble particulier d'un ensemble ordonné. Bien qu'à l'origine ce terme soit issu de la notion algébrique d'idéal d'un anneau, il a été généralisé en une notion distincte. Les idéaux interviennent dans beaucoup de constructions en théorie des ordres, en particulier des treillis. Un idéal d'un ensemble ordonné (E, ≤) est une partie non vide I de E telle que : I est une section commençante, c'est-à-dire que tout minorant d'un élément de I appartient à I ; I est un ensemble ordonné filtrant, c'est-à-dire que deux éléments quelconques de I possèdent toujours un majorant commun dans I. Cette définition étend aux ordres quelconques la définition originelle d'idéal d'un treillis : Si l'ordre (E, ≤) est un treillis — c'est-à-dire si toute paire {a, b} dans E possède une borne supérieure a⋁b et une borne inférieure a⋀b — une section commençante I est un idéal si et seulement si elle est stable par bornes supérieures finies, c'est-à-dire si elle est non vide et si pour tous a et b dans I, a⋁b appartient à I. La notion duale de celle d'idéal, c'est-à-dire où les ≤ sont inversés et les ⋁ et ⋀ intervertis, est celle de filtre. Les termes « idéal pour l'ordre » et « semi-idéal » sont parfois utilisés pour désigner de simples sections commençantes (et « filtre pour l'ordre » pour de simples sections finissantes). Pour éviter toute confusion, nous n'emploierons les termes « idéal/filtre » que pour des sections (commençantes/finissantes) qui sont filtrantes (à droite/à gauche). Les notions d' et de généralisent celle d'idéal d'un treillis. Un idéal ou un filtre de (E, ≤) est dit propre si c'est un sous-ensemble propre de E. Pour tout élément e de E, le plus petit idéal contenant e est l'ensemble, noté ↓e, des minorants de e. Un tel idéal est dit principal et e est alors appelé un élément principal de cet idéal. Un idéal I de (E, ≤) est dit premier si son complémentaire est un filtre. Puisque par définition tout filtre est non vide, tout idéal premier est propre.