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Riemannian connections: Esquisse de preuve

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Dans cours

MATH-512: Optimization on manifolds

We develop, analyze and implement numerical algorithms to solve optimization problems of the form min f(x) where x is a point on a smooth manifold. To this end, we first study differential and Riemannian geometry (with a focus dictated by computational con ...

Description

Cette séance de cours présente le théorème fondamental de la géométrie de Riemannian, indiquant l'existence d'une connexion unique symétrique et compatible métrique sur un collecteur de Riemannian. L'esquisse de preuve démontre l'unicité de la connexion grâce à la compatibilité avec les propriétés métriques et symétriques.

Enseignant·e

Nicolas Boumal

Enseignement et PhD Doctorant·es actuel·les Andreea-Alexandra Musat A dirigé les thèses EPFL de Christopher Criscitiello, Quentin Rebjock Cours Algèbre linéaire MATH-111(e) L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. Continuous optimization MATH-329 This course introduces students to continuous, nonlinear optimization. We study the theory of optimization with continuous variables (with full proofs), and we analyze and

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Géométrie: Géométrie différentielle

Concepts associés (31)

Forme de connexion

En géométrie différentielle, une 1-forme de connexion est une forme différentielle sur un -fibré principal qui vérifie certains axiomes. La donnée d'une forme de connexion permet de parler, entre autres, de courbure, de torsion, de dérivée covariante, de relevé horizontal, de transport parallèle, d'holonomie et de théorie de jauge. La notion de forme de connexion est intimement reliée à la notion de connexion d'Ehresmann. Soient : un groupe de Lie ; l'élément identité de ; l'algèbre de Lie de ; la représentation adjointe de sur ; une variété différentielle ; un -fibré principal sur .

Variété pseudo-riemannienne

La géométrie pseudo-riemannienne est une extension de la géométrie riemannienne ; au même titre que, en algèbre bilinéaire, l'étude des formes bilinéaires symétriques généralisent les considérations sur les métriques euclidiennes. Cependant, cette géométrie présente des aspects non intuitifs des plus surprenants. Une métrique pseudo-riemannienne sur une variété différentielle M de dimension n est une famille g= de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents de signature constante (p,q).

Connexion de Koszul

En géométrie différentielle, une connexion (de Koszul) est un opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel. Cette notion a été introduite par Jean-Louis Koszul en 1950 et formalise le transport parallèle de vecteurs le long d'une courbe en termes d'équation différentielle ordinaire. Les connexions sont des objets localement définis auxquels sont associées les notions de courbure et de torsion. L'un des exemples les plus simples de connexions de Koszul sans torsion est la connexion de Levi-Civita naturellement définie sur le fibré tangent de toute variété riemannienne.

Géométrie riemannienne

vignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.

Variété (géométrie)

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.

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Riemannian Hessians: Connexions et Symmétrie

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Couvre les connexions Riemannian, en mettant l'accent sur leurs propriétés et leur signification en géométrie.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Vue et objectifs des yeux d'oiseau MOOC: Introduction à l'optimisation sur des manifolds lisses : méthodes du premier ordre

Couvre l'optimisation sur les collecteurs, la fluidité, les outils nécessaires à l'optimisation, et les algorithmes avancés utilisant les connexions Hessians et Riemannian.

Connexions : Définition axiomatique

Explore les connexions sur les collecteurs, en mettant l'accent sur la définition axiomatique et les propriétés des dérivés dans les champs vectoriels de différenciation.

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