Séance de cours

Phénomène de coupure

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Dans cours

COM-516: Markov chains and algorithmic applications

The study of random walks finds many applications in computer science and communications. The goal of the course is to get familiar with the theory of random walks, and to get an overview of some applications of this theory to problems of interest in commu ...

Description

Cette séance de cours traite du phénomène de coupure, où une grande constante positive c est considérée. Au fur et à mesure que le nombre d'étapes augmente, le temps de mélange d'une marche aléatoire sur un hypercube est analysé, montrant une transition nette d'un état de non-mélange à un état de mélange.

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Concepts associés (29)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

Generalized eigenvector

In linear algebra, a generalized eigenvector of an matrix is a vector which satisfies certain criteria which are more relaxed than those for an (ordinary) eigenvector. Let be an -dimensional vector space and let be the matrix representation of a linear map from to with respect to some ordered basis. There may not always exist a full set of linearly independent eigenvectors of that form a complete basis for . That is, the matrix may not be diagonalizable.

Algorithme de recherche de valeur propre

Un problème important en analyse numérique consiste à développer des algorithmes efficaces et stables pour trouver les valeurs propres d'une matrice. Ces algorithmes de recherche de valeurs propres peuvent être étendus pour donner les vecteurs propres associés. Valeur propre, vecteur propre et espace propre Pour une matrice carrée A de taille n × n réelle ou complexe, une valeur propre λ et son vecteur propre généralisé associé v sont un couple vérifiant la relation où v est un vecteur colonne n × 1 non nul, I la matrice identité de taille n × n, k un entier positif.

Defective matrix

In linear algebra, a defective matrix is a square matrix that does not have a complete basis of eigenvectors, and is therefore not diagonalizable. In particular, an n × n matrix is defective if and only if it does not have n linearly independent eigenvectors. A complete basis is formed by augmenting the eigenvectors with generalized eigenvectors, which are necessary for solving defective systems of ordinary differential equations and other problems.

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Séances de cours associées (64)

Diagonalisation des matrices : théorie et exemples

Couvre la théorie et les exemples de matrices de diagonalisation, en se concentrant sur les valeurs propres, les vecteurs propres et lindépendance linéaire.

Valeurs propres et vecteurs propres des chaînes de Markov

Explore les valeurs propres et les vecteurs propres des chaînes de Markov, en se concentrant sur les taux de convergence et les propriétés matricielles.

Distribution stationnaire dans les chaînes de Markov

Explore le concept de distribution stationnaire dans les chaînes de Markov, en discutant de ses propriétés et de ses implications, ainsi que des conditions d'une récurrence positive.

Valeurs propres et séquence de Fibonacci

Couvre les valeurs propres, les vecteurs propres et la séquence de Fibonacci, en explorant leurs propriétés mathématiques et leurs applications pratiques.

L'inégalité de Cheeger

Explore l'inégalité de Cheeger et ses implications dans la théorie des graphes.

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Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Décomposition d'une matrice en éléments propres

Generalized eigenvector

Algorithme de recherche de valeur propre

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