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Représentations linéaires : bases et exemples

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Description

Cette séance de cours introduit des représentations linéaires, soulignant l'importance des homomorphismes réguliers d'un groupe algébrique linéaire à GLV. Il couvre la notion d'isomorphisme entre les représentations, la relation entre les actions linéaires et les représentations, et le concept de modules G. L'instructeur explique comment classer les représentations de l'étoile C, montrant qu'elles sont toujours diagonalisables. La séance de cours explore également la décomposition de l'espace de poids, illustrant comment les représentations peuvent être décomposées en espaces de poids. En outre, il explore la classification des représentations de C plus, démontrant quelles correspondent à des matrices nilpotentes dans GLN. Le contenu se termine par une classification complète de toutes les représentations de C plus.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale, Théorie des représentations, Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Module homomorphism

In algebra, a module homomorphism is a function between modules that preserves the module structures. Explicitly, if M and N are left modules over a ring R, then a function is called an R-module homomorphism or an R-linear map if for any x, y in M and r in R, In other words, f is a group homomorphism (for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If M, N are right R-modules, then the second condition is replaced with The of the zero element under f is called the kernel of f.

Matrice diagonalisable

En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.

Linear algebraic group

In mathematics, a linear algebraic group is a subgroup of the group of invertible matrices (under matrix multiplication) that is defined by polynomial equations. An example is the orthogonal group, defined by the relation where is the transpose of . Many Lie groups can be viewed as linear algebraic groups over the field of real or complex numbers. (For example, every compact Lie group can be regarded as a linear algebraic group over R (necessarily R-anisotropic and reductive), as can many noncompact groups such as the simple Lie group SL(n,R).

Dimension d'un espace vectoriel

vignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.

Homomorphism

In algebra, a homomorphism is a structure-preserving map between two algebraic structures of the same type (such as two groups, two rings, or two vector spaces). The word homomorphism comes from the Ancient Greek language: ὁμός () meaning "same" and μορφή () meaning "form" or "shape". However, the word was apparently introduced to mathematics due to a (mis)translation of German ähnlich meaning "similar" to ὁμός meaning "same". The term "homomorphism" appeared as early as 1892, when it was attributed to the German mathematician Felix Klein (1849–1925).

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Couvre les idéaux, les représentations, les modules et les idéaux maximaux en algèbres associatives.

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