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Séance de cours

Polynomes : polynômes irréductibles et lemme gaussien

Dans cours

MATH-110(a): Algèbre linéaire avancée I - espaces vectoriels

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire (pour les futurs mathématiciens) et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de polynômes irréductibles, les définissant comme des polynômes non constants avec des propriétés spécifiques. Il introduit également le lemme gaussien, qui fournit des conditions d'irréductibilité. L'instructeur explique la factorisation des polynômes et des évaluations, en soulignant l'importance des coefficients dominants et des types de puissance.

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Enseignant·e·s (2)

Philippe Michel

Ph. Michel's main research interest lie in the field of analytic number theory and range over a variety of techniques and methods which include: arithmetic geometry, exponential sums, sieve methods, automorphic forms and allied representations, L-functions and more recently ergodic theory. Ph. Michel is a former student of ENS Cachan and obtained his PhD in Universté Paris XI in 1995 under the guidance of E. Fouvry. From 1995 to 1998 he was maître de conférence at Universté Paris XI and full professor at Université Montpellier II until 2008 then when he joined EPFL. Ph. Michel was awarded the Peccot-Vimont prize, has been member of the Institut Universitaire de France and wa invited speaker at the 2006 International Congress of Mathematician.

Daniel Kressner

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Concepts associés (32)

Entier de Gauss

thumb|Carl Friedrich Gauss. En mathématiques, et plus précisément, en théorie algébrique des nombres, un entier de Gauss est un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. Il s'agit formellement d'un élément de l'anneau des entiers quadratiques de l'extension quadratique des rationnels de Gauss L'ensemble des entiers de Gauss possède une structure forte. Comme tous les ensembles d'entiers algébriques, muni de l'addition et de la multiplication ordinaire des nombres complexes, il forme un anneau intègre, généralement noté , désignant ici l'unité imaginaire.

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Polynôme de Tchebychev

En mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev. Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée T et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée U (dans les deux cas, l'entier naturel n correspond au degré).

Polynôme de Laguerre

En mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif. Les solutions L forment une suite de polynômes orthogonaux dans L (R, edx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale.

Polynôme de Legendre

thumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales P(x), sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre : dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel. De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de R[X] défini par : pour les valeurs propres .

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Intégration: Éléments simples MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 7) : Intégrales indéfinies et définies, intégration (chapitres choisis)

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