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Séance de cours

Cadre TNB: Formules Frenet-Serret

Dans cours

MATH-123(b): Geometry

The course provides an introduction to the study of curves and surfaces in Euclidean spaces. We will learn how we can apply ideas from differential and integral calculus and linear algebra in order to "measure shapes". ...

Description

Cette séance de cours couvre le cadre TNB, composé des vecteurs tangents, normaux et binormaux, qui définissent un système de coordonnées rectangulaires locales le long d'une courbe. Il explique également les formules Frenet-Serret, qui décrivent le comportement d'une courbe à l'aide des vecteurs tangents, normaux et binormaux. La séance de cours s'inscrit dans le concept du cadre TNB se déplaçant le long d'une courbe, les formules pour calculer le cadre TNB, et les implications du cadre TNB pour comprendre le comportement local d'une courbe.

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Enseignant·e

Dimitri Stelio Wyss

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Concepts associés (17)

Repère de Frenet

En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret-Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. Il s'agit d'un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son mode de construction est différent selon que l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe gauche) ; il est possible également de définir un repère de Frenet en toute dimension, pourvu que la courbe vérifie des conditions différentielles simples.

Tangent vector

In mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point. Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rn. More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold. Tangent vectors can also be described in terms of germs. Formally, a tangent vector at the point is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at .

Espace tangent

L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier.

Fibré tangent

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit : où est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x. Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M.

Champ de vecteurs

thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x). thumb|Autre exemple. thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant. En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle.

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