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Séance de cours

Singularité essentielle et calcul des résidus

Dans cours

MATH-207(d): Analysis IV

The course studies the fundamental concepts of complex analysis and Laplace analysis with a view to their use to solve multidisciplinary scientific engineering problems. ...

Description

Cette séance de cours traite du concept de singularités essentielles dans l'analyse complexe, en se concentrant sur le calcul des résidus. L'instructeur explique la signification de l'intégrale sur une courbe autour des singularités essentielles et clarifie pourquoi l'attention est dirigée vers des coefficients spécifiques. À travers des exemples, la séance de cours illustre des scénarios où la fonction est holomorphe à l'exception d'un coefficient spécifique étant zéro. La discussion couvre également la distinction entre les pôles et les singularités essentielles, en soulignant les conditions dans lesquelles les intégrales sont valides. Divers scénarios sont explorés pour comprendre le comportement des fonctions proches des singularités essentielles et les implications pour le calcul des résidus.

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Enseignant·e·s (2)

Sébastien Basterrechea

David Valentin Strütt

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Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse complexe

Concepts associés (32)

Essential singularity

In complex analysis, an essential singularity of a function is a "severe" singularity near which the function exhibits odd behavior. The category essential singularity is a "left-over" or default group of isolated singularities that are especially unmanageable: by definition they fit into neither of the other two categories of singularity that may be dealt with in some manner – removable singularities and poles. In practice some include non-isolated singularities too; those do not have a residue.

Singularité (mathématiques)

En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n'est pas bien défini ou bien subit une transition. Ce terme peut donc avoir des significations très différentes en fonction du contexte. Par exemple, dans l'analyse élémentaire, on dit que . En théorie des singularités, le terme prend un sens différent. On dit, par exemple, En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible.

Removable singularity

In complex analysis, a removable singularity of a holomorphic function is a point at which the function is undefined, but it is possible to redefine the function at that point in such a way that the resulting function is regular in a neighbourhood of that point. For instance, the (unnormalized) sinc function, as defined by has a singularity at z = 0. This singularity can be removed by defining which is the limit of sinc as z tends to 0. The resulting function is holomorphic.

Théorie des singularités

vignette|droite|Visualisation de la fonction (x, y) → x2 + y2 Dans l'acception que lui a donnée René Thom, la théorie des singularités consiste à étudier des objets et des familles d'objets suivant leur degré de généricité. Dans une famille, l'objet peut subir des changements d'états ce que l'on appelle une bifurcation. Un exemple simple est donné par les courbes de niveau de la fonction : La courbe de niveau pour une valeur positive est un cercle. La valeur 0 est singulière et pour les valeurs négatives, la courbe est vide.

Fonction holomorphe

vignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe. En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.

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Fonctions Holomorphes: Série Taylor Expansion

Couvre les propriétés de base des cartes holomorphes et des extensions de la série Taylor en analyse complexe.

Continuation analytique : théorème des résidus

Couvre le concept de continuation analytique et l'application du théorème des résidus pour résoudre des fonctions.

Laplace Transform: Continuation Analytique

Couvre la transformée de Laplace, ses propriétés et le concept de continuation analytique.

Théorème des résidus : Calcul d'intégrales sur des courbes fermées Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Couvre l'application du théorème des résidus dans le calcul des intégrales sur des courbes fermées dans l'analyse complexe.

Calcul des résidus et classification des singularités Connectez-vous à Mediaspace pour regarder cette vidéo

Couvre le calcul des résidus et la classification des singularités dans des fonctions complexes.

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Singularité (mathématiques)

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Théorie des singularités

Fonction holomorphe

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