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Séance de cours

Quotients algébriques

Description

Cette séance de cours couvre le concept de quotients algébriques dans le contexte d'une-variété, en discutant de la propriété universelle, des morphismes uniques, des propriétés G-invariantes et des générateurs finis. Il explore également la fermeture G, la stabilité et les propriétés des idéaux.

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Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Variété algébrique

Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques. Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés.

Anneau quotient

En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).

Geometric quotient

In algebraic geometry, a geometric quotient of an algebraic variety X with the action of an algebraic group G is a morphism of varieties such that (i) For each y in Y, the fiber is an orbit of G. (ii) The topology of Y is the quotient topology: a subset is open if and only if is open. (iii) For any open subset , is an isomorphism. (Here, k is the base field.) The notion appears in geometric invariant theory. (i), (ii) say that Y is an orbit space of X in topology. (iii) may also be phrased as an isomorphism of sheaves .

Quotient (universal algebra)

In mathematics, a quotient algebra is the result of partitioning the elements of an algebraic structure using a congruence relation. Quotient algebras are also called factor algebras. Here, the congruence relation must be an equivalence relation that is additionally compatible with all the operations of the algebra, in the formal sense described below. Its equivalence classes partition the elements of the given algebraic structure. The quotient algebra has these classes as its elements, and the compatibility conditions are used to give the classes an algebraic structure.

Groupe algébrique

En géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .

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