Représentation de groupeEn mathématiques, une représentation de groupe décrit un groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire. Autrement dit, on essaie de voir le groupe comme un groupe de matrices, d'où le terme représentation. On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel, arriver à déduire quelques propriétés du groupe. C'est l'un des concepts importants de la théorie des représentations.
Théorie des représentations d'un groupe finivignette|Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie de la représentation des groupes. En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, la théorie des représentations d'un groupe fini traite des représentations d'un groupe G dans le cas particulier où G est un groupe fini. Cet article traite de l'aspect mathématique et, de même que l'article de synthèse « Représentations d'un groupe fini », n'aborde que les représentations linéaires de G (par opposition aux représentations projectives ou ).
Représentation d'algèbre de LieEn mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur. Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Groupe cycliqueEn mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène, c'est-à-dire qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe. Il n'existe, à isomorphisme près, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient Z/nZ — également noté Z ou C — de Z par le sous-groupe des multiples de n.
Représentations du groupe symétriqueEn mathématiques les représentations du groupe symétrique sont un exemple d'application de la théorie des représentations d'un groupe fini. L'analyse de ces représentations est une illustration des concepts comme le théorème de Maschke, les caractères, la représentation régulière, les représentations induites et la réciprocité de Frobenius. L'histoire des représentations du groupe symétrique et du groupe alterné associés, joue un rôle particulier pour la théorie des caractères.
Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Trois dimensionsTrois dimensions, tridimensionnel ou 3D sont des expressions qui caractérisent l'espace qui nous entoure, tel que perçu par notre vision, en ce qui concerne la largeur, la hauteur et la profondeur. Le terme « 3D » est également (et improprement) utilisé (surtout en anglais) pour désigner la représentation en (numérique), le relief des images stéréoscopiques ou autres , et même parfois le simple effet stéréophonique, qui ne peut par construction rendre que de la 2D (il ne s'agit donc que du calcul des projections perspectives, des ombrages, des rendus de matières).
Isomorphisme de catégoriesEn théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : → et G : → tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C. Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories. Soit la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et la catégorie des ensembles munis d'un préordre.
Groupe de symétrieLe groupe de symétrie, ou groupe des isométries, d'un objet (, signal, etc.) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles cet objet est globalement invariant, l'opération de ce groupe étant la composition. C'est un sous-groupe du groupe euclidien, qui est le groupe des isométries de l'espace affine euclidien ambiant. (Si cela n'est pas indiqué, nous considérons ici les groupes de symétrie en géométrie euclidienne, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous.
SymétrieLa symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie. De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition. Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée.
Réflexion (mathématiques)En mathématiques, une réflexion ou symétrie axiale du plan euclidien est une symétrie orthogonale par rapport à une droite (droite vectorielle s'il s'agit d'un plan vectoriel euclidien). Elle constitue alors une symétrie axiale orthogonale. Plus généralement, dans un espace euclidien quelconque, une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan, c'est-à-dire à un sous-espace de codimension 1. En dimension 3, il s'agit donc d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan.
Icosahedral symmetryIn mathematics, and especially in geometry, an object has icosahedral symmetry if it has the same symmetries as a regular icosahedron. Examples of other polyhedra with icosahedral symmetry include the regular dodecahedron (the dual of the icosahedron) and the rhombic triacontahedron. Every polyhedron with icosahedral symmetry has 60 rotational (or orientation-preserving) symmetries and 60 orientation-reversing symmetries (that combine a rotation and a reflection), for a total symmetry order of 120.
Théorie géométrique des groupesLa théorie géométrique des groupes est un domaine des mathématiques pour l'étude des groupes de type fini à travers les connexions entre les propriétés algébriques de ces groupes et les propriétés topologiques et géométriques des espaces sur lesquels ils opèrent. Les groupes sont vus comme des ensembles de symétries ou d'applications continues sur ces espaces. Une autre idée importante de la théorie géométrique des groupes est de considérer les groupes de type fini eux-mêmes comme des objets géométriques, généralement via le graphe de Cayley du groupe étudié.
Circular symmetryIn geometry, circular symmetry is a type of continuous symmetry for a planar object that can be rotated by any arbitrary angle and map onto itself. Rotational circular symmetry is isomorphic with the circle group in the complex plane, or the special orthogonal group SO(2), and unitary group U(1). Reflective circular symmetry is isomorphic with the orthogonal group O(2). A 2-dimensional object with circular symmetry would consist of concentric circles and annular domains.
Symétrie (transformation géométrique)Une symétrie géométrique est une transformation géométrique involutive qui conserve le parallélisme. Parmi les symétries courantes, on peut citer la réflexion et la symétrie centrale. Une symétrie géométrique est un cas particulier de symétrie. Il existe plusieurs sortes de symétries dans le plan ou dans l’espace. Remarque : Le terme de symétrie possède aussi un autre sens en mathématiques. Dans l'expression groupe de symétrie, une symétrie désigne une isométrie quelconque.
Groupe (mathématiques)vignette|Les manipulations possibles du Rubik's Cube forment un groupe. En mathématiques, un groupe est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers relatifs, munis de la loi d'addition.
Similitude (géométrie)En géométrie euclidienne, une similitude est une transformation qui multiplie toutes les distances par une constante fixe, appelée son rapport. L' de toute figure par une telle application est une figure semblable, c'est-à-dire intuitivement « de même forme ». thumb|300px|Dans ce dessin, les objets de même couleur sont semblables. Les isométries, c'est-à-dire les transformations qui conservent les distances sont des cas particuliers de similitudes ; elles transforment des figures en des figures de même forme et de même taille.
Symétrie (physique)En physique la notion de symétrie, qui est intimement associée à la notion d'invariance, renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vue distincts en termes de description mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution. Une théorie physique possède alors une symétrie S, si toute équation dans cette théorie décrit tout aussi correctement une particule ρ qu'une particule -ρ 'symétrique' de ρ.
Symétrie moléculaireEn chimie, la symétrie moléculaire décrit la symétrie présente dans les molécules ainsi que la classification de ces molécules en fonctions de leur symétrie. La symétrie moléculaire est un concept fondamental en chimie car elle permet de prévoir ou d'expliquer un grand nombre des propriétés chimiques des molécules telles que les transitions spectroscopiques permises ou encore la présence ou l'absence d'un moment dipolaire.
Espace à quatre dimensionsframe|L'équivalent en quatre dimensions du cube est le tesseract. On le voit ici en rotation, projeté dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir). En mathématiques, et plus spécialement en géométrie, l'espace à quatre dimensions (souvent abrégé en 4D ; on parlera par exemple de rotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme espace à trois dimensions : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de trois nombres, appelés dimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite quatre.
