Séance de cours

Nombres complexes : Définition

Graph Chat

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Description

Cette séance de cours introduit des nombres complexes comme moyen de trouver des solutions à des équations qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels. En étendant le système de nombres, nous pouvons résoudre des équations comme x2 = 2. La séance de cours couvre la construction de nombres complexes, leurs propriétés, et les opérations, comme l'addition et la multiplication. L'instructeur explique comment des nombres complexes sont formés en combinant des parties réelles et imaginaires, ce qui conduit au terme «complexe». La séance de cours explore également les règles algébriques régissant les nombres complexes, en soulignant l'importance de la nouvelle constante 'i'.

Source officielle

Concepts associés (30)

Nombre complexe

En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est actuellement défini comme une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i) = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels. Les nombres complexes ont été progressivement introduit au par l’école mathématique italienne (Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Tartaglia) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Nombre imaginaire pur

vignette|Plan des nombres complexes avec les imaginaires purs en bas à droite. thumb|Plan des nombres complexes. Les coordonnées du point A décrivent un nombre réel pur, celles du point B décrivent un nombre imaginaire pur, et celles du point C décrivent un nombre complexe. Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.

Unité imaginaire

En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté (parfois en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique), dont le carré vaut –1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs. L'appellation d'« imaginaire » est due à René Descartes et celle d'« unité imaginaire » à Carl Friedrich Gauss. Sans avoir disparu, cette appellation n'est pas d'un usage très généralisé chez les mathématiciens, qui se contentent souvent de parler du nombre i.

Construction des nombres réels

En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.

Afficher plus

Séances de cours associées (64)

Théorème fondamental de l'algèbre

Couvre le Théorème fondamental de l'algèbre, séquences complexes, convergence et continuité des fonctions.

Nombres de complexes : Introduction et propriétés

Introduit des nombres complexes pour résoudre des équations insolvables, explorant leurs propriétés et leur relation avec des nombres réels.

Définition du champ des nombres complexes MOOC: Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes MOOC: Analyse I

Introduit des nombres complexes et définit leur champ, mettant l'accent sur les propriétés et les opérations.

Nombres complexes : opérations et forme polaire

Explore les nombres complexes, les opérations, la valeur absolue et la forme polaire, ainsi que l'analyse et la représentation graphique des nombres complexes.

Nombres et fonctions réels

Introduit l'analyse réelle I, couvrant les nombres réels, les fonctions, les limites, les dérivés et les intégrales.

Afficher plus

Concepts associés (30)

Nombre complexe

Nombre réel

Nombre imaginaire pur

Unité imaginaire

Construction des nombres réels

Afficher plus