Séance de cours

Théorème fondamental de l'algèbre

Graph Chat

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.

Description

Cette séance de cours couvre le Théorème fondamental de l'Algèbre, en indiquant que chaque équation de la forme anzn + an-1zn-1 +... + a1z + a0 = 0 a une solution dans les nombres complexes. Il traite également des propriétés des séquences complexes, de la convergence et de la continuité des fonctions complexes. La séance de cours présente les théorèmes préparatoires et leurs preuves, conduisant à la conclusion du Théorème fondamental de l'Algèbre. Les preuves comprennent l'analyse des fonctions polynomiales, l'infimum des ensembles et l'existence de nombres complexes satisfaisant des conditions spécifiques.

Source officielle

Concepts associés (32)

Nombre complexe

En mathématiques, l'ensemble des nombres complexes est actuellement défini comme une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre imaginaire noté i tel que i = −1. Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i) = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels. Les nombres complexes ont été progressivement introduit au par l’école mathématique italienne (Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Tartaglia) afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des « nombres » de carré négatif.

Analyse complexe

L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un C-espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes. Les fonctions dérivables sur un ouvert du plan complexe sont appelées holomorphes et satisfont de nombreuses propriétés plus fortes que celles vérifiées par les fonctions dérivables en analyse réelle. Entre autres, toute fonction holomorphe est analytique et vérifie le principe du maximum.

Algèbre

L'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).

Borne supérieure et borne inférieure

En mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.

Suite (mathématiques)

vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes. En mathématiques, une suite est une famille d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite. Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même ensemble , cette suite peut être assimilée à une application de dans .

Afficher plus

Séances de cours associées (49)

Nombres complexes : Racines et polynômes

Couvre les propriétés des nombres complexes, y compris la recherche de racines et la factorisation des polynômes.

Taylor Polynomials: Calcul des limites et des dérivés

Couvre le calcul des polynômes de Taylor et leurs applications dans les limites et les dérivées des fonctions de R2 à R.

Limites des séquences

Couvre le concept des limites des séquences, y compris les définitions, les exemples, la délimitation, et plus encore.

Fonction Gamma II et formule de sommation de Poisson

Couvre les propriétés de la fonction Gamma et la formule de somme de Poisson pour les nombres réels et complexes.

Le Théorème fondamental de l'Algèbre MOOC: Analyse I (partie 2) : Introduction aux nombres complexes MOOC: Analyse I

Couvre le théorème fondamental de l'algèbre, expliquant comment chaque polynôme a des racines complexes.

Afficher plus

Concepts associés (32)

Nombre complexe

Analyse complexe

Algèbre

Borne supérieure et borne inférieure

Suite (mathématiques)

Afficher plus