Séance de cours

Cardinalité des ensembles : innombrables et dénombrables

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Dans cours

CS-101: Advanced information, computation, communication I

Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics as diverse as mathematical reasoning, combinatorics, disc ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de cardinalité des ensembles, définissant les ensembles dénombrables comme ceux avec la même cardinalité que l'ensemble des entiers positifs. L'instructeur explique comment montrer qu'un ensemble est dénombrable en répertoriant ses éléments dans une séquence. Les exemples incluent la dénombrabilité dentiers pairs positifs, dentiers, de nombres rationnels positifs et de chaînes finies sur un alphabet fini. La séance de cours introduit également le concept d'ensembles innombrables, tels que les nombres réels.

Enseignant·e

Karl Aberer

Co-Founder of LinkAlong Sarl, 2017.Vice-president EPFL for Information Systems, 2012 –2016.Director of the Swiss National Centre for Mobile Information and Communication Systems NCCR MICS (mics.ch), 2005 -2012.Member of the Swiss Research and Technology Council SWTR, consulting the Swiss Federal government, 2004 - 2011.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Logique mathématique: Théorie des ensembles

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Construction des nombres réels

En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme . Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple ...

Ensemble infini non dénombrable

Un ensemble infini non dénombrable est un ensemble qui est « trop gros » pour être dénombrable. De manière précise, c'est un ensemble infini qui ne peut être mis en bijection avec les entiers naturels. En présence de l'axiome du choix, cela signifie que son cardinal est strictement supérieur au cardinal du dénombrable. On dit souvent simplement ensemble non dénombrable. L'ensemble des nombres réels en est un exemple. Avec l'hypothèse généralisée du continu, un ensemble des cardinalités infinies non dénombr

Cardinalité (mathématiques)

En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.

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Relations, Séquences, Somme : Cantor Diagonalisation

Couvre les ensembles dénombrables et non dénombrables, les séquences, la sommation et la preuve de Diagonalisation de Cantor.

Relations, séquences et sommations

Couvre les chaînes, les ensembles dénombrables, la cardinalité et le concept de dénombrabilité, explorant la dénombrabilité de divers ensembles et la diagonalisation de Cantor.

Propriétés supplémentaires des nombres réels MOOC: Analyse I MOOC: Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels

Explore la comptabilité des sous-ensembles de nombres réels et démontre que l'ensemble de nombres réels est incomptable.

Sujets sélectionnés en mathématiques

Couvre certains sujets en mathématiques, y compris les approximations Taylor et les structures algébriques de Z et K[X].

Introduction à l'analyse

Couvre les bases de l'analyse, y compris les preuves, les ensembles, les nombres rationnels et réels, et le concept d'infimum.

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