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Structures algébriques : Groupes et anneaux

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Description

Cette séance de cours introduit les notions de base des groupes et des anneaux, le fondement des manipulations de nombre. Il couvre les concepts de la théorie des nombres comme l'énumération, combinatoire, la divisibilité, Icm, gcd, nombres premiers, et le théorème fondamental de la factorisation. La séance de cours dessine des parallèles entre la construction numérique et la structure des matériaux, soulignant la nature différente des liaisons atomiques. La semaine prochaine, la discussion se poursuivra avec les champs, les espaces vectoriels et les résultats sur la structure cubique des matériaux à l'aide des nombres premiers et des calculs de géométrie de base.

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Concepts associés (32)

Nombre premier

vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.

Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Théorie des nombres

Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers (qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs). Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses théorèmes et ses problèmes ouverts, dont les énoncés sont souvent faciles à comprendre, même pour les non-mathématiciens.

Espace vectoriel topologique

En mathématiques, les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel, avec des relations de compatibilité entre les deux structures. Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert. Un espace vectoriel topologique (« e.v.t.

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Séances de cours associées (54)

Algèbre élémentaire: ensembles numériques

Explore les concepts d'algèbre élémentaire liés aux ensembles numériques et aux nombres premiers, y compris la factorisation et les propriétés uniques.

Théorie des nombres: Division, Reste, Congruence

Couvre la théorie des nombres, la division, le reste, la congruence, les nombres premiers, la représentation entière et l'algorithme euclidien.

Théorie des nombres : concepts fondamentaux

Couvre l'addition binaire, les nombres premiers et le tamis d'Eratosthène en théorie des nombres.

Opérations matricielles et espaces vectoriels

Couvre les opérations matricielles élémentaires et les espaces vectoriels, y compris les propriétés et les conditions d'inversibilité.

Primes et coprime

Explore les nombres premiers, les entiers de coprime, et leurs propriétés dans la théorie des nombres.

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