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Séance de cours

Q en tant que sous-ensemble de R

Description

Cette séance de cours explique le concept de Q en tant que sous-ensemble de R, démontrant que ni Q ni R ne sont des ensembles ouverts. Il couvre diverses preuves mathématiques et des exemples liés aux propriétés de Q et R comme sous-ensembles des nombres réels.

Dans MOOCs (2)

Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels

Analyse I

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Concepts associés (23)

Ouvert (topologie)

En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques.

Nombre réel

En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

Démonstration (logique et mathématiques)

vignette| : un des plus vieux fragments des Éléments d'Euclide qui montre une démonstration mathématique. En mathématiques et en logique, une démonstration est un ensemble structuré d'étapes correctes de raisonnement. Dans une démonstration, chaque étape est soit un axiome (un fait acquis), soit l'application d'une règle qui permet d'affirmer qu'une proposition, la conclusion, est une conséquence logique d'une ou plusieurs autres propositions, les prémisses de la règle.

Raisonnement par récurrence

vignette|Le raisonnement par récurrence est comme une suite de dominos. Si la propriété est vraie au rang n0 (i. e. le premier domino de numéro 0 tombe) et si sa véracité au rang n implique celle au rang n + 1 (i. e. la chute du domino numéro n fait tomber le domino numéro n + 1) alors la propriété est vraie pour tout entier (i. e. tous les dominos tombent). En mathématiques, le raisonnement par récurrence (ou par induction, ou induction complète) est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels.

Construction des nombres réels

En mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.

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Introduction aux nombres réels et à leurs propriétés

Présente les nombres réels, leurs propriétés et leur signification dans l'analyse.

Règles de chaîne

Explore l'extension de la règle de la chaîne aux dimensions et compositions plus élevées des fonctions.

Nombres réels : Ensembles et opérations

Explore les concepts fondamentaux des nombres réels, y compris les ensembles, les opérations et les propriétés comme supremum et infimum.

Ensembles ouverts et fermés MOOC: Analyse I (partie 1) : Prélude, notions de base, les nombres réels MOOC: Analyse I

Explique les concepts d'ensembles ouverts et fermés en nombres réels.

Analyse des frontières

Explore les limites dans des ensembles, les définissant comme des points pas bien séparés de l'ensemble ou de son complément.

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Concepts associés (23)

Ouvert (topologie)

Nombre réel

Démonstration (logique et mathématiques)

Raisonnement par récurrence

Construction des nombres réels

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