IdéalEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.
Idéal maximalUn idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau commutatif est dit maximal lorsqu’il est contenu dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d’élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.
Idéal fractionnairevignette|Richard Dedekind donne en 1876 la définition d'idéal fractionnaire. En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal fractionnaire est une généralisation de la définition d'un idéal. Ce concept doit son origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre certaines équations diophantiennes, cette théorie utilise des anneaux d'entiers généralisant celui des entiers relatifs.
Idéal (théorie des ordres)En mathématiques, un idéal au sens de la théorie des ordres est un sous-ensemble particulier d'un ensemble ordonné. Bien qu'à l'origine ce terme soit issu de la notion algébrique d'idéal d'un anneau, il a été généralisé en une notion distincte. Les idéaux interviennent dans beaucoup de constructions en théorie des ordres, en particulier des treillis. Un idéal d'un ensemble ordonné (E, ≤) est une partie non vide I de E telle que : I est une section commençante, c'est-à-dire que tout minorant d'un élément de I appartient à I ; I est un ensemble ordonné filtrant, c'est-à-dire que deux éléments quelconques de I possèdent toujours un majorant commun dans I.
Idéal premierEn algèbre commutative, un idéal premier d'un anneau commutatif unitaire est un idéal tel que le quotient de l'anneau par cet idéal est un anneau intègre. Ce concept généralise la notion de nombre premier à des anneaux à la structure moins simple d'accès que l'anneau des entiers relatifs. Ils jouent un rôle particulièrement important en théorie algébrique des nombres. thumb|Richard Dedekind (1831-1916), formalisateur du concept d'idéal.
Anneau quotientEn mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
Minimal idealIn the branch of abstract algebra known as ring theory, a minimal right ideal of a ring R is a non-zero right ideal which contains no other non-zero right ideal. Likewise, a minimal left ideal is a non-zero left ideal of R containing no other non-zero left ideals of R, and a minimal ideal of R is a non-zero ideal containing no other non-zero two-sided ideal of R . In other words, minimal right ideals are minimal elements of the partially ordered set (poset) of non-zero right ideals of R ordered by inclusion.
Ideal theoryIn mathematics, ideal theory is the theory of ideals in commutative rings. While the notion of an ideal exists also for non-commutative rings, a much more substantial theory exists only for commutative rings (and this article therefore only considers ideals in commutative rings.) Throughout the articles, rings refer to commutative rings. See also the article ideal (ring theory) for basic operations such as sum or products of ideals.
Radical d'un idéalEn algèbre commutative, le radical (aussi appelé la racine) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I. Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans Z, le radical d'un idéal nZ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.
DistributivitéEn mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ». Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16.
Distributivity (order theory)In the mathematical area of order theory, there are various notions of the common concept of distributivity, applied to the formation of suprema and infima. Most of these apply to partially ordered sets that are at least lattices, but the concept can in fact reasonably be generalized to semilattices as well. Probably the most common type of distributivity is the one defined for lattices, where the formation of binary suprema and infima provide the total operations of join () and meet ().
Multiplicationthumb|La multiplication de 4 par 3 donne le même résultat que la multiplication de 3 par 4. La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division. Cette opération est souvent notée avec la croix de multiplication « × », mais peut aussi être notée par d'autres symboles (par exemple le point médian « · ») ou par l'absence de symbole. Son résultat s'appelle le produit, les nombres que l'on multiplie sont les facteurs.
Distributive latticeIn mathematics, a distributive lattice is a lattice in which the operations of join and meet distribute over each other. The prototypical examples of such structures are collections of sets for which the lattice operations can be given by set union and intersection. Indeed, these lattices of sets describe the scenery completely: every distributive lattice is—up to isomorphism—given as such a lattice of sets. As in the case of arbitrary lattices, one can choose to consider a distributive lattice L either as a structure of order theory or of universal algebra.
Completely distributive latticeIn the mathematical area of order theory, a completely distributive lattice is a complete lattice in which arbitrary joins distribute over arbitrary meets. Formally, a complete lattice L is said to be completely distributive if, for any doubly indexed family {xj,k | j in J, k in Kj} of L, we have where F is the set of choice functions f choosing for each index j of J some index f(j) in Kj. Complete distributivity is a self-dual property, i.e. dualizing the above statement yields the same class of complete lattices.
Table de multiplicationUne table de multiplication affiche dans les lignes et colonnes le résultat de la multiplication des petits nombres entiers naturels. Le terme usité du Moyen Âge au était « livret » (ce terme est encore courant en Suisse). Le système de numération décimale de position permet d'effectuer la multiplication de deux nombres quelconques à l'aide de la seule connaissance des produits des nombres de 0 à 9 entre eux. C'est à l'école primaire que s'effectue l'apprentissage des tables qui récapitulent tous ces produits.
Constructionvignette|upright|Les grues sont essentielles pour des travaux importants tels que les gratte-ciel. La construction est le fait d'assembler différents éléments d'un édifice en utilisant des matériaux et des techniques appropriées. Le secteur économique de la construction, appelé « bâtiment et travaux publics » (BTP) dans une partie de l'Europe francophone, regroupe toutes les activités de conception et de construction des bâtiments publics et privés, industriels ou non, et des infrastructures telles que les routes ou les canalisations.
Technique de multiplication dite russeLa technique de multiplication dite russe consiste à diviser par 2 le multiplicateur (et ensuite les quotients obtenus), jusqu'à un quotient nul, et à noter les restes ; et à multiplier parallèlement le multiplicande par 2. On additionne alors les multiples obtenus du multiplicande correspondant aux restes non nuls. Cela revient en fait à écrire le multiplicateur en base 2 et à faire ensuite des multiplications par 2 et des additions. C'est donc une variante de la technique de la multiplication en Égypte antique, bien qu'elle ait pu être redécouverte indépendamment.
Catégorie des anneauxEn mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing.
Quotient (universal algebra)In mathematics, a quotient algebra is the result of partitioning the elements of an algebraic structure using a congruence relation. Quotient algebras are also called factor algebras. Here, the congruence relation must be an equivalence relation that is additionally compatible with all the operations of the algebra, in the formal sense described below. Its equivalence classes partition the elements of the given algebraic structure. The quotient algebra has these classes as its elements, and the compatibility conditions are used to give the classes an algebraic structure.
MKS system of unitsThe MKS system of units is a physical system of measurement that uses the metre, kilogram, and second (MKS) as base units. The modern International System of Units (SI) was originally created as a formalization of the MKS system, and although the SI has been redefined several times since then and is now based entirely on fundamental physical constants, it still closely approximates the original MKS system for most practical purposes. By the mid-19th century, there was a demand by scientists to define a coherent system of units.
