Topologie géométrique

En mathématiques, la topologie géométrique est l'étude des variétés et des applications entre elles, en particulier les plongements d'une variété dans une autre. Quelques exemples de sujets en topologie géométrique sont l'orientablité, la décomposition en anses, la platitude locale et le théorème de Jordan-Schoenflies dans le plan et en dimensions supérieures. En toutes dimensions, le groupe fondamental d'une variété est un invariant très important et détermine une grande partie de la structure ; en dimensions 1, 2 et 3, les groupes possibles sont restreints mais en dimension 4 et au-delà, tout groupe de présentation finie est le groupe fondamental d'une variété (il suffit de le démontrer en dimensions 4 et 5, puis de prendre des produits par des sphères pour obtenir les dimensions supérieures). En topologie en basses dimensions, les surfaces (2-variétés), les 3-variétés et les , sont des familles ayant chacune sa propre théorie, entre lesquelles il existe des connexions. La théorie des nœuds est l'étude des plongements de cercles (dimension 1) dans un espace à trois dimensions. En topologie en dimensions supérieures, des invariants de base sont les classes caractéristiques et la théorie de la chirurgie est une approche fructueuse. La topologie en basses dimensions est fortement géométrique, comme le reflètent le théorème d'uniformisation en dimension 2 — toute surface admet une métrique riemannienne de courbure constante, ce qui permet une classification en trois géométries : sphérique (courbure positive), plate (courbure nulle) ou hyperbolique (courbure négative) — et la conjecture de géométrisation de Thurston (démontrée par Perelman) en dimension 3 — toute 3-variété peut être découpée en morceaux dont chacun n'a que huit géométries possibles. La topologie en dimension 2 peut être étudiée comme une géométrie complexe en une variable (les surfaces de Riemann sont des variétés complexes de dimension 1) — par le théorème d'uniformisation, toute classe conforme de métriques est équivalente à une unique métrique complexe — et la topologie en dimension 4 peut être étudiée du point de vue de la géométrie complexe en deux variables (surfaces complexes) ; cependant, une variété de dimension 4 n'admet pas toujours de structure complexe.