Hypothèse du continu

En théorie des ensembles, l'hypothèse du continu (HC), due à Georg Cantor, affirme qu'il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre le cardinal de l'ensemble des entiers naturels et celui de l'ensemble des nombres réels. En d'autres termes : tout ensemble strictement plus grand, au sens de la cardinalité, que l'ensemble des entiers naturels doit contenir une « copie » de l'ensemble des nombres réels. Cantor avait démontré (et publié en 1874) que le cardinal de l'ensemble des nombres réels était strictement plus grand que celui des nombres entiers ; il formula plus tard l'hypothèse du continu, qui résultait d'une analyse des sous-ensembles de la droite réelle, et de sa hiérarchisation des cardinaux infinis, mais il tenta en vain de la démontrer. Cette démonstration constituait le premier de la célèbre liste des 23 problèmes de Hilbert, que celui-ci avait établie pour le congrès international des mathématiciens de 1900 à Paris, afin de guider la recherche en mathématiques du siècle alors naissant. Ce n'est que bien plus tard, en 1963, que Paul Cohen introduisit sa méthode de forcing pour montrer que cette hypothèse ne pouvait se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, généralement considérée comme une formalisation adéquate de la théorie des ensembles de Cantor, qui n'était pas encore axiomatisée en 1900. Kurt Gödel avait précédemment démontré, en 1938, que cette hypothèse n'était pas non plus réfutable dans ZFC. Elle est donc indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC, ou encore indécidable dans cette théorie. La méthode du forcing de Cohen a connu depuis de nombreux développements en théorie des ensembles. Son résultat n'a pas mis un point final aux travaux sur le sujet. La recherche d'hypothèses naturelles à ajouter à la théorie ZFC et d'arguments qui permettraient de trancher pour ou contre l'hypothèse du continu constitue toujours un sujet actif en théorie des ensembles. Un ensemble est dit dénombrable quand il est en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels.