Théorème de Taylor

redresse=1.5|vignette|Représentation de la fonction logarithme (en noir) et des approximations de Taylor au point 1 (en vert). En mathématiques, plus précisément en analyse, le théorème de Taylor (ou formule de Taylor), du nom du mathématicien anglais Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approchée par une fonction polynomiale dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. Cette fonction polynomiale est parfois appelée polynôme de Taylor. De manière plus précise, soit : un intervalle réel ; un élément de ; un espace vectoriel normé réel ; une fonction de dans dérivable en jusqu'à un certain ordre . Alors pour tout nombre réel appartenant à , on a la formule de Taylor-Young : ou de façon équivalente : où le reste est une fonction négligeable par rapport à au voisinage de . Par simple changement de variable de en , la formule de Taylor-Young peut aussi s'exprimer sous la forme : ou de façon équivalente : où le reste est une fonction négligeable par rapport à au voisinage de 0 (c'est-à-dire pour petit). En présentant cette formule en 1715, Taylor propose ainsi une méthode de développement en série, mais sans se préoccuper du reste . En effet, pendant tout le , les mathématiciens n'établissent pas encore de différence entre développement limité et développement en série entière. C'est Joseph-Louis Lagrange qui, en 1799, soulignera le premier la nécessité de définir rigoureusement ce reste. Les propriétés de celui-ci s'énoncent différemment selon les hypothèses sur la fonction. Cette formule porte le nom de William Henry Young. Si la fonction (à valeurs réelles ou complexes, ou même dans un espace normé) est dérivable en jusqu'à l'ordre , alors la fonction est négligeable devant : La formulation suivante est équivalente : L'énoncé se démontre par récurrence simple, à l'aide d'une « intégration » terme à terme d'un développement limité, ou encore par application itérée de la règle de l'Hôpital.