Point de branchement

En analyse complexe, le point de branchement ou point de ramification est un point singulier d'une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n-ième ou le logarithme complexe. En ce point s'échangent les différentes déterminations. Géométriquement, cette notion délicate est liée à la surface de Riemann associée à la fonction et relève de la question de la monodromie. Pour donner une image, cela correspond à un escalier en colimaçon dont l'axe (réduit à un point) est placé à la singularité, desservant plusieurs (voire une infinité) d'étages. Dans le cas d'un nombre fini d'étages, l'escalier a une propriété de périodicité : arrivé au dernier étage, on peut continuer à monter et on se retrouve au rez-de-chaussée. En pratique, il suffit de tourner autour d'un point de branchement pour changer d'« étage ». Les différents étages sont appelés des feuillets (ou branches). L'ordre du point est égal au nombre de feuillets (branches). Étant donnés une fonction analytique f et un point singulier isolé a, le point a est un point de branchement lorsque l'image par f d'au moins un lacet entourant a est une courbe non fermée. Le point est dit d'ordre n s'il faut au plus n tours autour de a pour refermer la courbe image. Si la courbe ne se referme jamais quel que soit le nombre de tours effectués autour de a, on dit que le point de branchement est transcendant ou logarithmique. Le point à l'infini peut être un point de branchement pour f(s). Pour le montrer, on considère la fonction f(1/s). Si 0 est un point de branchement de f(1/s) alors l'infini est un point de branchement de f(s). Soit f une fonction complexe admettant le point a comme point de branchement d'ordre n. Si a ≠ 0, on se ramène par translation au cas où ce point de branchement est 0. La fonction g définie par g(s) = f(s) est alors analytique en 0. Pour cette fonction g, le point 0 n'est donc pas un point de branchement, ce qui implique qu’elle admet un développement en série de Laurent en 0.