Topologie de la droite réelle

thumb|Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. La topologie de la droite réelle (ou topologie usuelle de R) est une structure mathématique qui donne, pour l'ensemble des nombres réels, des définitions précises aux notions de limite et de continuité. Historiquement, ces notions se sont développées autour de la notion de nombre (approcher des nombres comme la racine carrée de deux ou pi par d'autres plus « maniables ») et de la géométrie de la droite (à laquelle l'espace topologique des nombres réels peut être assimilé), du plan et de l'espace usuels. De ces études ont été extraits les axiomes permettant de définir ce qu'est un espace topologique. La théorie axiomatique de la topologie étant établie, l'espace topologique des nombres réels n'est plus qu'un exemple, parmi de nombreux autres, de groupe topologique. Il existe donc essentiellement deux manières de présenter la topologie usuelle de l'ensemble des nombres réels : partir des propriétés de l'ensemble des nombres réels pour définir les objets de la topologie ; partir des axiomes de la topologie générale et les appliquer à l'ensemble des nombres réels. Les deux s'appuient sur la construction des nombres réels par complétion de l'ensemble des nombres rationnels. La topologie de la droite réelle est une topologie de l'ordre et l'ensemble des nombres réels est un corps topologique, ce qui signifie que les notions de limite et de continuité sont compatibles avec l'ordre et les opérations usuelles (addition, soustraction, multiplication et division autre que la division par zéro). Les sous-ensembles de R qui jouent un rôle essentiel pour la topologie sont d'une part l'ensemble des nombres rationnels, sur lequel R est construit, et d'autre part les intervalles, sur lesquels la topologie est construite. Nombre rationnel L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, est un corps, ce qui signifie qu'il possède beaucoup de « bonnes » propriétés algébriques : si on effectue l'addition, la multiplication, la soustraction ou la division de deux nombres rationnels, on obtient un autre nombre rationnel.