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vignette|Schéma expliquant le processus de Poisson Un processus de Poisson, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson et la loi du même nom, est un processus de comptage classique dont l'équivalent discret est la somme d'un processus de Bernoulli. C'est le plus simple et le plus utilisé des processus modélisant une . C'est un processus de Markov, et même le plus simple des processus de naissance et de mort (ici un processus de naissance pur). Les moments de sauts d'un processus de Poisson forment un processus ponctuel qui est déterminantal pour la mesure de Lebesgue avec un noyau constant . Le processus de Poisson d'intensité λ (réel strictement positif) est un processus de comptage d'occurrences qui vérifie les conditions suivantes : Les nombres d'occurrences dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants. La probabilité d'une occurrence dans un petit intervalle de temps est proportionnelle à la longueur de cet intervalle, le coefficient de proportionnalité étant . La probabilité qu'il y ait plus d'une occurrence dans un petit intervalle de temps est négligeable. Ces deux dernières conditions forment la propriété dite des « événements rares ». Mathématiquement, ces propriétés se traduisent, si l'on note le processus de Poisson et la probabilité, par : les variables aléatoires sont indépendantes ; lorsque h → 0 (t étant fixé) ; lorsque h → 0 (t étant fixé). On déduit des deux dernières égalités que . On démontre alors, par des résolutions d'équations différentielles d'ordre 1 et par récurrence, que pour un temps t donné (strictement positif), le nombre N d'occurrences dans un intervalle de longueur t suit une loi de Poisson d'intensité λt, c'est-à-dire que quel que soit l'entier naturel k Et on démontre enfin que les temps s'écoulant entre deux incrémentations du processus de comptage (rappelons que la probabilité que le processus de comptage augmente d'un coup de deux unités ou plus est nulle d'après la définition) sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ, c'est-à-dire que : si alors les variables aléatoires sont indépendantes et , quel que soit t réel positif ou nul.
Network: Computation in Neural Systems', Journal of Computational Neuroscience', and `Science'. [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL
In [1]:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.signal as sp
import seaborn as sns
sns.set()
In [2]:
plt.rcParams["figure.figsize"] = (14,4)
The basic reproduction number[4]¶
The propagation mechanism of an epidemic such as the one caused by
SARS-CoV-2 virus can be roughly modeled, at least in its inital phase,
as a process in which each infected individ [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL
In this notebook we will explore various ways to implement a system
that changes the voice of a speaker. Typical applications for these
techniques, strictly sorted by plausibility, include international spy
missions and prank telephone calls, and devices such as the one
displayed here can be easily bought on the web... or in a novelty shop.
No description has been provided for t [2]Paolo Prandoni, [3]LCAV, EPFL
This notebook shows a simple way to process audio files (in WAV format)
in a block-by-block fashion; this is useful in two cases
1. when you want to process a data stream in real time but you can
accept a small processing delay; in this case a buffered approach
can yield computational gains
2. when you need to process a large file that does not fit entirely
into "I defy anybody to find a record... unless it is some old blues
record from 1922... that uses feedback that way. So I claim it for
the Beatles. Before H