Processus ponctuel

En probabilité et statistique, un processus ponctuel est un type particulier de processus stochastique pour lequel une réalisation est un ensemble de points isolés du temps et/ou de l'espace. Par exemple, la position des arbres dans une forêt peut être modélisée comme la réalisation d'un processus ponctuel. Les processus ponctuels sont des objets très étudiés en probabilité et en statistique pour représenter et analyser des données spatialisées qui interviennent dans une multitude de domaines telle que l'écologie, l'astronomie, l'épidémiologie, la géographie, la sismologie, les télécommunications, la science des matériaux et beaucoup d'autres. Le cas particulier des processus ponctuels sur la droite réelle est très étudié, la connaissance de la distance entre deux points consécutifs caractérisant le processus. Ce type de processus ponctuel est très utilisé pour modéliser des événements aléatoires dans le temps, tels que l'arrivée d'un client (), l'impulsion d'un neurone... En mathématiques, un processus ponctuel est un élément aléatoire dont les valeurs sont des motifs de points, c'est-à-dire des « collections » de points sur un ensemble . Il est possible de généraliser en définissant un motif de points comme étant une mesure de comptage localement finie. Soit un espace métrique localement compact équipé de sa tribu borélienne . On note l'ensemble des motifs de points de , c'est-à-dire l'ensemble des sous-ensembles localement finis de . Un élément de sera appelé "configuration" et sera noté . On munit de la tribu engendrée par les applications de comptage : , où B est un compact de et où désigne le cardinal de l'ensemble fini considéré. Un processus ponctuel est alors une application mesurable d'un espace de probabilité vers l'espace mesuré . L'exemple le plus commun d'espace est l'espace euclidien ou un de ses sous-espaces. Mais les processus ponctuels ne sont pas limités à ces exemples. Un cas particulier des processus ponctuels est celui des processus ponctuels définis sur la droite réelle (ou la demi-droite réelle ).