Régularité par morceaux

En mathématiques, les énoncés de certaines propriétés d'analyse et résultats de convergence se réfèrent à des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continues par morceaux, dérivables par morceaux Ces fonctions sont regroupées par classes de régularité qui sont autant d'espaces vectoriels emboîtés, appelés « classe C par morceaux » et notés C. vignette|Cette fonction n'est pas continue sur R. En revanche, elle y est continue par morceaux. Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision σ : a = a0 < ... < an = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai, ai + 1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai, ai + 1]. Toute fonction continue sur un segment étant réglée, les fonctions continues par morceaux sur [a, b] le sont également. Concrètement une telle fonction f est continue sur ]ai,ai+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque ai' (lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point ai lui-même). On définit de même les fonctions de classe C par morceaux, linéaires par morceaux On notera qu'une fonction de classe C par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en ai', mais qu'elle et sa dérivée admettent des limites finies à droite et à gauche en ai. Cette notion s'étend naturellement pour les fonctions définies sur un intervalle quelconque : une fonction est dite continue (ou autre propriété) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I. Soient Ω un ouvert borné de R et son adhérence. Pour simplifier, supposons que Ω est un domaine « régulier » (par exemple et pour fixer les idées, que le théorème de la divergence est valable pour toute fonction suffisamment lisse sur R). Alors : une fonction f de dans R est continue par morceaux — noté C() — s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ω tels que et que la restriction de f à chacun des admette un prolongement continu à R ; une fonction f de dans R est de classe C par morceaux — noté C() — si elle est de classe C et s'il existe un ensemble fini d'ouverts disjoints Ω tels que et que la restriction de f à chacun des soit de classe C().