Distance (mathématiques)

En mathématiques, une distance est une application qui formalise l'idée intuitive de distance, c'est-à-dire la longueur qui sépare deux points. C'est par l'analyse des principales propriétés de la distance usuelle que Fréchet introduit la notion d'espace métrique, développée ensuite par Hausdorff. Elle introduit un langage géométrique dans de nombreuses questions d'analyse et de théorie des nombres. À partir de la définition d'une distance, vue comme une application satisfaisant à certains axiomes, d'autres notions de distance peuvent être définies, comme la distance entre deux parties, ou la distance d'un point à une partie, sans que ces dernières répondent à la définition première d'une distance. On appelle distance sur un ensemble toute application définie sur le produit et à valeurs dans l'ensemble R des réels positifs ou nuls, vérifiant les propriétés suivantes : Un ensemble muni d'une distance s'appelle un espace métrique. Remarques Ces conditions expriment les notions intuitives du concept de distance. Par exemple, que la distance entre des points distincts est strictement positive et que la distance de x à y est la même que la distance de y à x. L'inégalité triangulaire signifie que la distance parcourue directement entre x et z, n'est pas plus grande que la distance à parcourir en partant d'abord de x vers y puis de y vers z. Euclide que , ce qui était l'inégalité triangulaire pour sa géométrie. Dans la définition d'une distance, on peut se contenter de supposer que l'ensemble d'arrivée est R, et que d vérifie l'axiome de séparation et l'une quelconque des trois variantes suivantes de l'inégalité triangulaire : d(a, c) ≤ d(b, a) + d(b, c), ou d(a, c) ≤ d(a, b) + d(c, b), ou encore La positivité et la symétrie se déduisent facilement de ces seuls axiomes. Si est un sous-ensemble de et si R est une distance sur , alors la restriction de à est une distance sur . Si et sont respectivement des distances sur et et si est le produit , alors l'application R définie parest une distance sur .