Modèle de Kuramoto

Le modèle de Kuramoto, proposé pour la première fois par Yoshiki Kuramoto (蔵本 由紀 Kuramoto Yoshiki), est un modèle mathématique utilisé pour décrire la synchronisation au sein des systèmes complexes. Plus précisément, il s'agit d'un modèle pour le comportement d'un grand nombre d'oscillateurs couplés. Sa formulation a été motivée par le comportement des oscillateurs dans les systèmes chimiques et biologiques, et il a trouvé de nombreuses applications dans les neurosciences ou les oscillations dynamiques de la propagation d'une flamme par exemple. Kuramoto a été assez surpris lorsque le comportement de certains systèmes physiques, à savoir des réseaux de jonctions de Josephson, s’avéra suivre son modèle. Le modèle s'appuie sur plusieurs hypothèses, le couplage est ainsi supposé faible, les oscillateurs sont identiques ou presque identiques, et les interactions dépendent sinusoïdalement de la différence de phase entre chaque paire d'objets. Dans la version la plus populaire du modèle de Kuramoto, chaque oscillateur est considéré comme ayant sa propre fréquence naturelle intrinsèque et est couplé de manière égale à toutes les autres oscillateurs. Étonnamment, ce modèle non-linéaire peut être résolu exactement, dans la limite où N tend vers l'infini, grâce à une transformation astucieuse et l'application d'arguments d'auto-cohérence . La forme la plus populaire de ce modèle est donc régie par les équations suivantes : où N est le nombre d'oscillateurs, de phase et de fréquence propre avec un terme de couplage K. On peut ajouter un bruit pour chaque oscillateur. Dans ce cas, l'équation d'origine devient : où est le terme de bruit. Si l'on considère le cas d'un bruit blanc, on a : avec désignant l'intensité du bruit. La transformation qui permet de résoudre exactement ce modèle (dans la limite où N → ∞) est la suivante : Définissant les paramètres d'ordre r et ψ par Ici r représente la cohérence de phase de l'ensemble des oscillateurs et ψ est la phase moyenne.