Problème à deux corps

Le problème à deux corps est un modèle théorique important en mécanique, qu'elle soit classique ou quantique, dans lequel sont étudiés les mouvements de deux corps assimilés à des points matériels en interaction mutuelle (conservative), le système global étant considéré comme isolé. Dans cet article, seul sera abordé le problème à deux corps en mécanique classique (voir par exemple l'article atome d'hydrogène pour un exemple en mécanique quantique), d'abord dans le cas général d'un potentiel attractif, puis dans le cas particulier très important où les deux corps sont en interaction gravitationnelle, ou mouvement képlérien, lequel est un sujet important de la mécanique céleste. L'importance de ce problème vient en premier lieu de son caractère exactement intégrable, contrairement au problème à trois corps et plus. En effet le problème à deux corps, qui possède a priori six degrés de liberté, peut se ramener en fait à la résolution d'un problème à un corps à un seul degré de liberté. Par ailleurs, les résultats obtenus permettent de rendre compte des trajectoires des planètes dans le système solaire (dans le référentiel héliocentrique) ainsi que celle de leurs satellites naturels ou artificiels, au moins en première approximation. On retrouve alors les lois de Kepler, mis en évidence par l'analyse des observations astronomiques dès le . Ainsi, la situation envisagée est loin d'être purement académique. La première résolution de ce problème a été exposée par Newton, qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses Principia. Cet article a pour objet l'exposé et le traitement général du problème à deux corps, avec la démonstration des lois de Kepler et l'étude détaillée des différents types de trajectoires envisageables. La question de la détermination des éléments d'orbite ainsi que les équations de Kepler et de Barker et leurs applications font l'objet d'articles séparés (cf les articles mouvement képlérien, équation de Kepler et éléments d'orbite).