Loi de Rayleigh

En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh, est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance. Cette loi de probabilité est baptisée d'après Lord Rayleigh. Typiquement, la distance D à laquelle une particule se trouve de son point de départ, après avoir effectué n pas d'une marche aléatoire symétrique dans le plan, suit approximativement une loi de Rayleigh de paramètre . Dans un tout autre domaine, elle est fréquemment utilisée pour décrire l'enveloppe d'un processus de Gauss à bande étroite. La loi de Rayleigh est la loi de probabilité de densité : pour Les moments sont donnés par : où Γ(z) est la fonction Gamma. L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes : et Le coefficient d'asymétrie ( skewness) est : La kurtosis est : La fonction caractéristique est : où erfi(z) est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est où erf(z) est la fonction d'erreur. L'entropie est où γ est la constante d'Euler-Mascheroni. Étant donné N variables de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre σ, l'estimateur du maximum de vraisemblance de σ est Étant donné une variable U uniforme sur l'intervalle ]0;1[, la variable suit la loi de Rayleigh de paramètre σ. Cela provient de la forme de la fonction de répartition, en particulier du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U. suit la loi de Rayleigh si , où et sont deux variables gaussiennes indépendantes, ce qui explique le choix du symbole "σ" pour paramétriser la loi de Rayleigh. Si , alors R suit la loi du χ2 avec deux degrés de liberté: qui est une loi exponentielle de paramètre 1/2. Si X suit une loi exponentielle , alors . Si , et si les R forment une suite de variables indépendantes, alors suit une loi gamma de paramètres N et 2σ : . La loi de Rice est une généralisation de la loi de Rayleigh. thumb|350px|Trois réalisations de marches aléatoires isotropes sur le réseau (en pas).