Théorie des locales

En mathématiques, la théorie des locales (ou théorie des lieux, ou parfois topologie sans points, en anglais : pointless topology) est une approche de la topologie issue de la théorie des catégories et évitant de mentionner les points ; certains des « espaces » (appelés locales) étudiés par la théorie ne contiennent aucun point au sens usuel. La définition traditionnelle des espaces topologiques (ayant pour objectif de formaliser les notions de limite et de proximité) consiste en un ensemble (les points) et une famille de sous-ensembles (les ouverts) vérifiant certaines propriétés (la stabilité par union quelconque et intersection finie) ; une définition alternative et équivalente consiste à associer à chaque point un ensemble de sous-ensembles, ses voisinages. La théorie des locales part de l’image intuitive de « taches » plus réaliste que celle de points sans dimension, mais plutôt que de les définir par une zone de flou entourant les vrais points, comme par exemple les halos de l'analyse non standard, ou comme le fait la théorie des ensembles flous, elle utilise des propriétés combinatoires, définissant une notion de proximité par intersection. Plus précisément les taches peuvent se « réunir », formant un treillis, qui vérifie de plus une loi de distributivité correspondant à une propriété des ensembles ouverts des espaces topologiques. L'objet de base est le cadre (en anglais : frame), un treillis complet (c'est-à-dire un ensemble partiellement ordonné tel que tout sous-ensemble possède une borne inférieure et une borne supérieure) vérifiant en plus la loi de distributivité . Les morphismes de cadres sont les morphismes de treillis (c'est-à-dire les applications croissantes) qui respectent les bornes inférieures pour tous les sous-ensembles et les bornes supérieures des ensembles finis (en particulier, elles respectent le plus grand et le plus petit élément du treillis). Les cadres et leurs morphismes forment une catégorie (parfois notée Fram).