K-théorie

En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique. Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc. C'est Alexandre Grothendieck qui a fait la première construction d'un groupe de K-théorie dans son travail sur le théorème maintenant connu comme le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Il a introduit la complétion de la catégorie additive des (classes d'isomorphisme de) faisceaux de groupes abéliens (munie de la somme directe) en utilisant des inverses formels. Cette idée a été reprise par Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch pour définir le groupe K(X) d'un espace topologique, en faisant la même construction pour les fibrés vectoriels. Cette construction a été la première « théorie cohomologique extraordinaire » en topologie algébrique. Son utilisation a été fondamentale pour la démonstration du célèbre « théorème de l'indice » de Michael Atiyah et Isadore Singer, travail qui a fait obtenir au premier auteur la Médaille Fields en 1966, et aux deux, le prix Abel en 2004. Par ailleurs, Jean-Pierre Serre s'est appuyé sur l'analogie entre fibrés vectoriels et modules projectifs sur un anneau pour fonder la K-théorie algébrique en 1959. Ceci l'a conduit à signaler un problème ouvert qu'on baptisa malgré lui la « conjecture de Serre » : Tout module projectif sur un anneau de polynômes d'un corps est un module libre. Cette conjecture a été prouvée en 1976, par Daniel Quillen et Andrei Suslin en utilisant des méthodes de K-théorie algébrique. Quillen a ensuite donné une définition satisfaisante des foncteurs K, en utilisant de la théorie homotopique.