Méthodes de Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta, lesquels élaborèrent la méthode en 1901. Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite. Considérons le problème suivant : que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret t < t < ... < t. Plutôt que de chercher une méthode directe, les méthodes de Runge-Kutta proposent d'introduire les points intermédiaires afin de calculer par récurrence les valeurs (t , y) avec où h = t – t est le pas de temps et c est dans l'intervalle [0 ; 1]. Pour chaque point intermédiaire, on note la pente correspondante Ainsi, pour une solution exacte y du problème, on a On calculera ces intégrales par une méthode de quadrature, qu'on peut choisir différentes pour deux valeurs distinctes de i : calculées ici pour g(u) = f(t + u h, y(t + u h)). La méthode de Runge-Kutta d'ordre q sera donc donnée par : On résume la méthode souvent par le tableau des différents poids de quadrature, appelé tableau de Butcher : La méthode est consistante si . Cette méthode est équivalente à la méthode d'Euler, une méthode simple de résolution d'équations différentielles du . Considérons le problème suivant : La méthode RK1 utilise l'équation où h est le pas de l'itération. Le problème s'écrit donc : La méthode RK2 du point milieu est une composition de la méthode d'Euler : où h est le pas de l'itération. Elle consiste à estimer la dérivée au milieu du pas d'intégration : et à refaire le pas d'intégration complet à partir de cette estimation : Ce schéma est couramment appelé schéma prédicteur-correcteur explicite. C'est le cas particulier pour α = 1/2 de la méthode plus générale : On reconnait ainsi que la méthode de quadrature utilisée pour les temps intermédiaires est celle du point milieu.